Question

Найти НОД чисел 20²¹ и 21²⁰

Answer 1

20=2²*5

21=3*7

Это взаимно простые числа. единственным общим делителем для них является единица, что и служит их наибольшим общим делителем.

Значит, и для степеней этих чисел 20²¹ и 21²⁰ НОДом является 1.

Ответ 1

Answer 2

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел $20^{21}$ и $21^{20}$, мы можем воспользоваться тем фактом, что НОД двух чисел не изменится, если мы поменяем их местами. То есть НОД($20^{21}$, $21^{20}$) = НОД($21^{20}$, $20^{21}$).

Теперь давайте воспользуемся тем, что НОД двух чисел $a$ и $b$ равен $a$ в том случае, когда $a$ делится нацело на $b$. Это означает, что если $21^{20}$ делится нацело на $20^{21}$, то НОД($21^{20}$, $20^{21}$) будет равен $20^{21}$.

Давайте проверим, делится ли $21^{20}$ нацело на $20^{21}$:

$$\frac{21^{20}}{20^{21}} = \frac{(20+1)^{20}}{20^{21}}$$

Мы можем применить бином Ньютона, чтобы разложить $(20+1)^{20}$:

$$(20+1)^{20} = 20^{20} + \binom{20}{1}20^{19} + \binom{20}{2}20^{18} + \ldots + 1$$

Заметим, что каждый член в этой сумме содержит множитель $20^{k}$, где $k$ менее чем 21. Таким образом, все члены, кроме первого, делятся на $20^{21}$ нацело.

Таким образом, $\frac{21^{20}}{20^{21}} = 1 + \text{целое число}$.

Это означает, что $21^{20}$ делится нацело на $20^{21}$, и поэтому НОД($20^{21}$, $21^{20}$) равен $20^{21}$.

Таким образом, НОД чисел $20^{21}$ и $21^{20}$ равен $20^{21}$.