Question

Довести, що при будь-якому значенні х квад­ратний тричлен 2x^2+8x+8 набуває невід’ємного значення/ Сроооочно, Пожалуйста решите правильно)

Answer 1

Докажем, что этот квадратный трехчлен всегда больше нуля или равен нулю.

2х²+8х+8 = 2(х²+4х+4) = 2(х+2)².

Коэффициент 2 – положительный, (х+2)² ≥ 0 при х∈R. Все выражение 2х²+8х+8 ≥ 0 при х∈R, что и требовалось доказать.

Answer 2

Щоб довести, що квадратний тричлен $2x^2+8x+8$ набуває невід'ємного значення для будь-якого значення $x$, давайте використаємо метод повного квадрату.

Почнемо з даного квадратного тричлена:

$2x^2 + 8x + 8$

Додамо і віднімемо $2$, щоб завершити квадратний тричлен:

$2x^2 + 8x + 8 = 2x^2 + 8x + 4 - 4 + 8$

Тепер розділімо цей тричлен на дві частини і перепишемо його:

$2x^2 + 8x + 8 = (2x^2 + 8x + 4) + (-4 + 8)$

Тепер ми можемо розглядати першу частину як квадратний тричлен:

$2x^2 + 8x + 4 = 2(x^2 + 4x + 2)$

Залишилося довести, що цей квадратний тричлен $x^2 + 4x + 2$ набуває невід'ємного значення для будь-якого $x$. Це можна зробити, використовуючи дискримінант.

Дискримінант квадратного тричлена $ax^2 + bx + c$ визначається формулою $D = b^2 - 4ac$.

У нашому випадку $a = 1$, $b = 4$, і $c = 2$, тому:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

Дискримінант $D$ більший за нуль (8 > 0), що означає, що квадратний тричлен $x^2 + 4x + 2$ має два дійсних корені, і вони розташовані по обидва боки від нуля. Оскільки цей тричлен має відповідний дискримінанту знак, то він набуває невід'ємного значення для будь-якого значення $x$.

Отже, ми довели, що квадратний тричлен $2x^2 + 8x + 8$ набуває невід'ємного значення для будь-якого значення $x$.