Question

знайти косинус кутів трикутника АВС і встановити вид цього трикутника якщо А(-1;2;1),В(3;0;-4),С(2;0;0)?​

Answer 1

Даны вершины треугольника А(-1;2;1),В(3;0;-4),С(2;0;0).

Решение имеет 2 варианта (надо было оговорить в задании - какой нужен).

1) По теореме косинусов. Для этого находим длины сторон треугольника.                                                               Квадрат   Сторона

AB =  √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²)  = 16 4 25 45 6,708203932

BC =  √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²)  = 1 0 16 17 4,123105626

AC =  √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²)  = 9 4 1 14 3,741657387.

cos A = (b² + c² - a²)/(2bc) = (14+45-17)/(2√14*√45) = 0,836660027.

cos B = (a² + c² - b²)/(2ac) = (17+45-14)/(2√17*√45) = 0,867721831,

cos C = (a² + b² - c²)/(2ab) = (17+14-45)/(2√17*√14) = -0,453742606.

Косинус угла С отрицательный, значит, этот угол тупой.

Ответ: треугольник тупоугольный

2) По векторам.

AB = (3-(-1); 0-2; -4-1) = (4; -2; -5). Модуль равен √45.

BC = (2-3; 0-0; 0-(-4)) = (-1; 0; 4).  Модуль равен √17.

AC = (2-(-1); 0-2; 0-1) = (3; -2; -1). Модуль равен √14.

Векторы ВА, СВ и СА имеют обратные знаки координат).

cos A = (4*3 + (-2)*(-2) + (-5)*(-1))/(√45*√14) = 21/√630 = 0,836660027.

cos B = (-4*(-1) + 2*0 + 5*4)/(√45*√17) = 24/√765 = 0,867721831.

cos C = (1*(-3) + 0*2 + (-4)*1)/(√17*√14) = -7/√238 = -0,453742606.

Вывод о виде треугольника сохраняется, как и в первом варианте.

.

.

Answer 2

Спочатку, можливо, варто розрахувати вектори AB, BC і AC за допомогою координат точок A, B і C. Знаючи вектори, можна використовувати їх для обчислення косинусів кутів трикутника.

Давайте обчислимо вектори:

$\overrightarrow{AB} = B - A$ $\overrightarrow{BC} = C - B$ $\overrightarrow{AC} = C - A$

$\overrightarrow{AB} = (3 - (-1), 0 - 2, (-4) - 1) = (4, -2, -5)$ $\overrightarrow{BC} = (2 - 3, 0 - 0, 0 - (-4)) = (-1, 0, 4)$ $\overrightarrow{AC} = (2 - (-1), 0 - 2, 0 - 1) = (3, -2, -1)$

Тепер, можна використовувати ці вектори для обчислення косинусів кутів за допомогою формули:

$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|}$

де $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ - скалярний добуток, а $\|\overrightarrow{u}\|$ - довжина вектора.

$\cos(\angle ABC) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{BC}\|}$

$\cos(\angle BCA) = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{BC}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\|}$

$\cos(\angle CAB) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AC}\| \cdot \|\overrightarrow{AB}\|}$

Обчислимо ці косинуси і з'ясуємо, чи трикутник є рівнобедреним, рівностороннім, чи загального вигляду.