Question

знайти косинус кутів трикутника АВС і встановити вид цього трикутника якщо А(-1;2;1),В(3;0;-4),С(2;0;0)?​

Answer 1

Даны вершины треугольника А(-1;2;1),В(3;0;-4),С(2;0;0).

Решение имеет 2 варианта (надо было оговорить в задании - какой нужен).

1) По теореме косинусов. Для этого находим длины сторон треугольника.                                                               Квадрат   Сторона

AB =  √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²)  = 16 4 25 45 6,708203932

BC =  √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²)  = 1 0 16 17 4,123105626

AC =  √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²)  = 9 4 1 14 3,741657387.

cos A = (b² + c² - a²)/(2bc) = (14+45-17)/(2√14*√45) = 0,836660027.

cos B = (a² + c² - b²)/(2ac) = (17+45-14)/(2√17*√45) = 0,867721831,

cos C = (a² + b² - c²)/(2ab) = (17+14-45)/(2√17*√14) = -0,453742606.

Косинус угла С отрицательный, значит, этот угол тупой.

Ответ: треугольник тупоугольный

2) По векторам.

AB = (3-(-1); 0-2; -4-1) = (4; -2; -5). Модуль равен √45.

BC = (2-3; 0-0; 0-(-4)) = (-1; 0; 4).  Модуль равен √17.

AC = (2-(-1); 0-2; 0-1) = (3; -2; -1). Модуль равен √14.

Векторы ВА, СВ и СА имеют обратные знаки координат).

cos A = (4*3 + (-2)*(-2) + (-5)*(-1))/(√45*√14) = 21/√630 = 0,836660027.

cos B = (-4*(-1) + 2*0 + 5*4)/(√45*√17) = 24/√765 = 0,867721831.

cos C = (1*(-3) + 0*2 + (-4)*1)/(√17*√14) = -7/√238 = -0,453742606.

Вывод о виде треугольника сохраняется, как и в первом варианте.

.

.

Answer 2

Для знаходження косинусів кутів трикутника ABC та визначення виду цього трикутника, ми можемо скористатися формулою косинуса для обчислення кутів між векторами.

Спочатку знайдемо вектори AB, BC і AC:

1. Вектор AB = B - A = (3 - (-1), 0 - 2, (-4) - 1) = (4, -2, -5)
2. Вектор BC = C - B = (2 - 3, 0 - 0, 0 - (-4)) = (-1, 0, 4)
3. Вектор AC = C - A = (2 - (-1), 0 - 2, 0 - 1) = (3, -2, -1)

Тепер ми можемо обчислити косинуси кутів між цими векторами. Для цього використовуємо наступну формулу для косинуса кута між двома векторами a і b:

cos(θ) = (a · b) / (||a|| * ||b||)

де "a · b" - це скалярний добуток векторів a і b, а "||a||" і "||b||" - норми (довжини) векторів a і b.

1. cos(кут ABC) = (AB · BC) / (||AB|| * ||BC||)
2. cos(кут BCA) = (BC · AC) / (||BC|| * ||AC||)
3. cos(кут CAB) = (AC · AB) / (||AC|| * ||AB||)

Давайте обчислимо кожен з цих косинусів:

1. cos(кут ABC) = ((4 * (-1)) + (-2 * 0) + (-5 * 4)) / (||AB|| * ||BC||) = (-4 - 20) / (sqrt(4^2 + 2^2 + 5^2) * sqrt(1^2 + 0^2 + 4^2))

2. cos(кут BCA) = ((-1 * 3) + (0 * (-2)) + (4 * (-1))) / (||BC|| * ||AC||) = (-3 - 4) / (sqrt(1^2 + 0^2 + 4^2) * sqrt(3^2 + 2^2 + 1^2))

3. cos(кут CAB) = ((3 * 4) + (-2 * (-2)) + (-1 * 0)) / (||AC|| * ||AB||) = (12 + 4) / (sqrt(3^2 + 2^2 + 1^2) * sqrt(4^2 + 2^2 + 5^2))

Тепер обчислимо значення кожного косинуса:

1. cos(кут ABC) ≈ -0.918
2. cos(кут BCA) ≈ -0.182
3. cos(кут CAB) ≈ 0.944

Зараз ми можемо визначити вид трикутника за косинусами кутів:

• Якщо всі косинуси кутів додатні, трикутник - гострокутний.
• Якщо хоча б один з косинусів кутів дорівнює нулю, трикутник - прямокутний.
• Якщо хоча б один з косинусів кутів від'ємний, трикутник - тупокутний.

Отже, у нашому випадку трикутник ABC є гострокутним, оскільки всі косинуси кутів додатні.