Question

Складіть квадратні рівняння корені яких дорівнюють -1 -√2 а также -1 + √2​

Answer 1

Теорема Вієта:

х₁+х₂= -b    ⇒    -b= -1-√2+(-1+√2​)= -1-√2+-1+√2​ = -1-1 = -2 ⇒ b=2

х₁*х₂=c     ⇒       c=(-1 -√2)(-1+√2​)= -(√2+1)(√2-1​)= -(2-1)= -1 ⇒ c= -1

x²+2x-1=0

Answer 2

Квадратне рівняння має загальний вигляд:

$ax^2 + bx + c = 0.$

Для того, щоб корені рівняння були $-1 - \sqrt{2}$ та $-1 + \sqrt{2}$, співвідношення між коефіцієнтами та коренями повинно бути таким:

$(x - r_1)(x - r_2) = 0,$

де $r_1 = -1 - \sqrt{2}$ та $r_2 = -1 + \sqrt{2}$. Розкриваючи дужки, отримаємо:

$(x - (-1 - \sqrt{2}))(x - (-1 + \sqrt{2})) = 0.$

Спростимо це рівняння:

$(x + 1 + \sqrt{2})(x + 1 - \sqrt{2}) = 0.$

Розкриваємо дужки і групуємо подібні елементи:

$x^2 + (1 - \sqrt{2})x + (1 + 2) = 0.$

Таким чином, квадратне рівняння, корені якого дорівнюють $-1 - \sqrt{2}$ та $-1 + \sqrt{2}$, має вигляд:

$x^2 - (\sqrt{2} - 1)x - 3 = 0.$