Question

50 Баллов СРОЧНО 3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x+2y-5=0 и х-Зу+2=0 параллельно оси ординат.4. Даны точки A(0; 0), B(4; 0) и С(0; 6). Составьте уравнение окружности, описаннойоколо треугольника АВС.​

Answer 1

Точка пересечения прямых может быть найдена из системы

3x+2y-5=0

х-Зу+2=0

из второго уравнения х=3у-2 подставим в первое. получим

3*(3у-2)+2у-5=0⇒9у-6+2у-5=0; 11у=11; у=1, х=3*1-2=1, значит, точка пересечения прямых (1;1).

т.к. искомая прямая проходит через точку (1;1)  и параллельна оси ординат,  она имеет вид х=1

4. АВ =√((4-0)²+(0-0)²)=4; ВС=√((0-4)²+(6-0)²)=√52=2√13; АС=

√((0-0)²+(6-0)²)=6; Найдем площадь треугольника, для чего найдем полупериметр р=(6+4+2√13)/2=(5+√13); р-АВ=5+√13-4=√13+1;

р-ВС=5+√13-2√13=5-√13; р-АС=5+√13-6=√13-1; по формуле Герона площадь равна √((5+√13)(-5+√13)(1+√13)(-1+√13))=√((25-13)*(13-1))=√12²=12; можно было и короче, если Вам известно, что такое определитель, или детерминант.

001

401

061=

(-1)⁴*1*(4*6-0*0)=24; а площадь равна 24/2=12; радиус описанной окружности равен R=(АВ*АС*ВС)/(4S)=4*6*2√13/(4*24)=√13/2; т.к. АС²+АВ²=СВ², а это действительно так, 6²+4²=(2√13)²; 36+16=4*13; 52=52, то радиус тоже можно было искать проще. это половина гипотенузы СА, т.е. √13/2, центр окружности лежит на середине гипотенузы,т.е. в точке х₀=(0+4)/2=2; у₀=(6+0)/2=3, т.е. центр окружности - это точка (2;3) ; Зная центр и радиус окружности, составим уравнение окружности; в общем виде   (х-х₀)²+(у-у₀)²=R²;

В случае этого условия получим

(х-2)²+(у-3)²=(√13/2)²; (х-2)²+(у-3)²=13/4;

(х-2)²+(у-3)²=3.25

Answer 2

3. Для того чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых $3x + 2y - 5 = 0$ и $x - 3y + 2 = 0$ и параллельной оси ординат, сначала найдем точку пересечения этих двух прямых.

Сначала решим систему уравнений:

$$\begin{align*} 3x + 2y - 5 &= 0 \\ x - 3y + 2 &= 0 \end{align*}$$

Можно решить эту систему методом сложения или вычитания уравнений. Вычитая второе уравнение из первого, получим:

$$\begin{align*} (3x + 2y - 5) - (x - 3y + 2) &= 0 \\ 2x + 5y - 7 &= 0 \end{align*}$$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$$2x = 7 - 5y x = \frac{7 - 5y}{2}$$

Теперь, чтобы найти значение $y$, подставим $x$ в одно из исходных уравнений, например, в первое:

$$3x + 2y - 5 = 0 3\left(\frac{7 - 5y}{2}\right) + 2y - 5 = 0 \frac{21 - 15y}{2} + 2y - 5 = 0$$

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$21 - 15y + 4y - 10 = 0 21 - 11y - 10 = 0 21 - 11y = 10 -11y = 10 - 21 -11y = -11 y = 1$$

Теперь у нас есть координаты точки пересечения, которые равны $(x, y) = \left(\frac{7 - 5 \cdot 1}{2}, 1\right) = (1, 1)$.

Теперь, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через эту точку и параллельной оси ординат, мы знаем, что такая прямая будет иметь вид $x = \text{const}$, где $\text{const}$ - это координата $x$ точки, через которую проходит прямая, то есть $\text{const} = 1$.

Итак, уравнение прямой будет:

$x = 1$

4. Для построения уравнения окружности, описанной вокруг треугольника ABC, нам нужно найти радиус и координаты центра окружности.

Сначала определим координаты центра окружности. Центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC, будет находиться в середине отрезков между его вершинами. Таким образом, центр окружности будет в точке $(0, 0)$, так как это середина отрезка между A(0, 0) и B(4, 0).

Далее, чтобы найти радиус окружности, мы можем воспользоваться любым из трех радиусов, вписанных в треугольник или описанных вокруг него. В данном случае, наиболее удобно взять радиус, описанный вокруг треугольника.

Радиус описанной окружности равен половине длины диагонали треугольника ABC. Треугольник ABC - это прямоугольный треугольник, и его диагональ равна гипотенузе. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы:

$$\text{гипотенуза} = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$

Теперь, радиус описанной окружности равен половине этой длины:

$$\text{радиус} = \frac{\sqrt{52}}{2}$$

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид:

$$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = \left(\frac{\sqrt{52}}{2}\right)^2$$

Упростим:

$$x^2 + y^2 = \frac{52}{4}$$

$$x^2 + y^2 = 13$$

Итак, уравнение окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равно:

$x^2 + y^2 = 13$