Question

Доведіть що многочлен x^4-2x^2+6x-5 ділиться націло на двочлен x-1​

Answer 1

Если число $a$ является корнем многочлена $P(x)$, то многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x-a$.

Рассмотрим многочлен $P(x)=x^4-2x^2+6x-5$. Докажем, что число $a=1$ является его корнем:

$P(a)=P(1)=1^4-2\cdot1^2+6\cdot1-5=1-2+6-5=0$ - корень многочлена

Значит, этот многочлен делится на двучлен $x-a$, то есть на $x-1$.

Answer 2

Щоб довести, що многочлен x^4 - 2x^2 + 6x - 5 ділиться націло на двочлен x - 1, нам потрібно показати, що решта від ділення цього многочлена на (x - 1) дорівнює нулю.

Ми використовуємо алгоритм ділення многочленів для цього. Давайте поділимо x^4 - 2x^2 + 6x - 5 на x - 1.

scssCopy code
            x^3 + x^2 -  x  +  5
           _________________________
x - 1   |   x^4 - 2x^2 + 6x - 5
           -(x^4 -  x^3)
           _____________
                 -x^3 + 6x
                 -(-x^3 + x^2)
           _____________
                        x^2 + 6x
                        -(x^2 - x)
           _____________
                                   7x - 5
                                   -(7x - 7)
           _____________
                                               2

Результат ділення - многочлен x^3 + x^2 - x + 5, і решта дорівнює 2.

Оскільки решта не дорівнює нулю, многочлен x^4 - 2x^2 + 6x - 5 не ділиться націло на x - 1.