Question

Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству: n = 100, p = 0,7; = 60

Answer 1

Так как количество испытаний достаточно большое, воспользуемся теоремой Лапласа.

$\displaystyle n=100\ , \ p = 0.7\ , \ q=1-p = 0.3$

Найти вероятность $P(m\geq 60)$

$\displaystyle np = 100*0.7 = 70 \ , \ \sqrt{npq}=\sqrt{70*0.3} \approx 4.582 \\ P(m\geq 60) = P(60;100) = \Phi_0\bigg(\frac{100-70}{4.582} \bigg)-\Phi_0\bigg(\frac{60-70}{4.582} \bigg)=\\\Phi_0\bigg(6.547\bigg) +\Phi_0\bigg(2.182\bigg)= 0,4999+0,4854 = 0.9853$

Ответ: Вероястность P(60≤m) = 0.9853 или очень вероятно))

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, поскольку у нас есть n независимых испытаний с вероятностью успеха p. Вероятность того, что событие наступит k раз в этих n испытаниях, задается формулой:

$P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

где $C_n^k$ - это число сочетаний из n по k (биномиальный коэффициент), определяется формулой:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, нам нужно найти вероятность того, что событие произойдет ровно m раз в n испытаниях. Таким образом, у нас есть:

$P(X=m) = C_{100}^{60} \cdot 0.7^{60} \cdot (1-0.7)^{100-60}$

Теперь давайте вычислим это значение. Мы можем использовать формулу, но учтем, что $(1-p) = 0.3$:

$P(X=60) = C_{100}^{60} \cdot 0.7^{60} \cdot 0.3^{40}$

$P(X=60) = \frac{100!}{60! \cdot 40!} \cdot 0.7^{60} \cdot 0.3^{40}$

$P(X=60) \approx \frac{100!}{60! \cdot 40!} \cdot 0.7^{60} \cdot 0.3^{40}$

Для вычислений этого типа удобно использовать программные инструменты, такие как Python с библиотекой SciPy.