Question

Вероятность наступления некоторого события в каждом из 300 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число M наступлений событий удовлетворяет неравенству 50≤M≤250.m

Answer 1

По условию, n =300; p = 0.7; q = 1 - p = 0.3

Для больших n используем интегральную теорему Лапласа

$x_1=\dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{50-300\cdot 0.7}{\sqrt{300\cdot 0.7\cdot 0.3}}\approx -20.16;\\ \\ x_2=\dfrac{k_2-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{250-300\cdot 0.7}{\sqrt{300\cdot 0.7\cdot 0.3}}\approx 5.04$

Искомая вероятность:

$P(50\leq M\leq250)=\Phi(5.04)-\Phi(-20.16)\approx0.4999-(-0.4999)=0.9998$

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться биномиальным распределением, так как каждое испытание является независимым и имеет только два исхода (наступление события или его не наступление).

Для каждого испытания вероятность наступления события равна 0,7, а вероятность не наступления события равна 0,3. Пусть X - случайная величина, равная числу наступлений события в 300 испытаниях. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n=300 и p=0,7.

Теперь необходимо найти вероятность того, что число наступлений события удовлетворяет неравенству 50≤M≤250. Для этого можно воспользоваться формулой полной вероятности:

P(50≤M≤250) = Σ P(M=k), где сумма берется по всем k от 50 до 250.

P(M=k) = С(300,k) * 0,7^k * 0,3^(300-k), где С(300,k) - число сочетаний из 300 по k.

Таким образом, искомая вероятность равна:

P(50≤M≤250) = Σ P(M=k) = Σ С(300,k) * 0,7^k * 0,3^(300-k), где сумма берется по всем k от 50 до 250.

Эту сумму можно вычислить численно, используя программу или калькулятор, или оценить приближенно с помощью нормального распределения, так как при больших значениях n биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным с параметрами μ=np и σ^2=np(1-p).