Question

1. Составьте приведенное квадратное уравнение, сума корней которого равна 6, а произведение- числу 4 2.Найдите стороны прямоугольника, если одна из них на 3 см меньше другой, а диагональ прямоугольника равна 15 см

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1)Если дано x² + px + q = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:$\left \{ {{x1+x2=-p} \atop {x1*x2=q}} \right.$

справедливые равенства для теоремы Виета.

Поэтому p=6;q=4

x²-6x+4=0

2) Пусть меньшая сторона х см, тогда большая сторона (х+3) см

Так как диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой, равным диагонали, то  х²+(х+3)²=15²; х>0

х²+х²+6х+9=225

2х²+6х-216=0

D=6²-4·2·(-216)=36+1728=1764; √1764=42

x=(-6±42)/4;

x1=(-6-42)/4=-12 - не подходит

x2= (-6+42)/4=9  - меньшая сторона

9+3=12 -  большая сторона

Ответ: 9 см; 12 см;

Answer 2

1. Пусть $x$ и $y$ - корни квадратного уравнения. Известно, что сумма корней равна 6, и произведение корней равно 4. Мы можем написать систему уравнений на основе этих данных:

$$\begin{align*} x + y &= 6 \quad \text{(сумма корней)} \quad \text{(1)} \\ xy &= 4 \quad \text{(произведение корней)} \quad \text{(2)} \end{align*}$$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Из уравнения (1) можно выразить одну переменную через другую:

$x = 6 - y$

Подставим это значение в уравнение (2):

$(6 - y)y = 4$

Распишем уравнение и приведем его к квадратному виду:

$y^2 - 6y + 4 = 0$

Теперь это квадратное уравнение можно решить с использованием дискриминанта. Дискриминант ($D$) для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a = 1$, $b = -6$ и $c = 4$. Рассчитаем $D$:

$D = (-6)^2 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20$

Так как $D > 0$, у уравнения два вещественных корня. Решим уравнение для $y$ с использованием квадратного корня:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

Таким образом, корни уравнения $y$ равны $y_1 = 3 - \sqrt{5}$ и $y_2 = 3 + \sqrt{5}$. Соответственно, корни уравнения $x$ равны $x_1 = 3 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{5}$.

2. Пусть $x$ и $y$ - стороны прямоугольника. Из условия известно, что одна из сторон на 3 см меньше другой ($x = y - 3$) и диагональ равна 15 см ($x^2 + y^2 = 15^2$). Подставим выражение для $x$ из первого условия во второе:

$$(y - 3)^2 + y^2 = 225$$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$$y^2 - 6y + 9 + y^2 = 225$$

$$2y^2 - 6y - 216 = 0$$

Теперь это квадратное уравнение можно решить. Найдем дискриминант $D$:

$$D = (-6)^2 - 4(2)(-216) = 36 + 1728 = 1764$$

Так как $D > 0$, у уравнения два вещественных корня. Решим уравнение для $y$ с использованием квадратного корня:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 42}{4} = \frac{48}{4} \quad \text{или} \quad \frac{-36}{4}$$