Question

Найти значение выражения: sin(π/6 + α), если sin α = 2/3 и 0< α < π/2.

Answer 1

Ответ:

1 четверть

$\sin( \alpha ) > 0 \\ \cos( \alpha ) > 0$

$\sin( \frac{\pi}{6} + \alpha ) = \sin( \frac{\pi}{6} ) \cos( \alpha ) + \cos( \frac{\pi}{6} ) \sin( \alpha ) = \\ = \frac{1}{2} \cos( \alpha ) + \frac{ \sqrt{3} }{2} \sin( \alpha )$

$\cos( \alpha ) = \sqrt{1 - \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \sqrt{1 - \frac{4}{9} } = \\ = \sqrt{ \frac{5}{9} } = \frac{ \sqrt{5} }{3}$

$\sin( \frac{\pi}{6} + \alpha ) = \frac{1}{2} \times \frac{ \sqrt{5} }{3} + \frac{ \sqrt{3} }{2} \times \frac{2}{3} = \\ = \frac{ \sqrt{5} + 2 \sqrt{3} }{6}$

Answer 2

Дано, что $\sin(\alpha) = \frac{2}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Мы знаем, что $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta)$. В данном случае, $\beta = \frac{\pi}{6}$.

Используем тригонометрические тождества $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos(\alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \sin(\alpha)$

$= \frac{1}{2} \cdot \cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{2} \cdot \cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь нам нужно найти значение $\cos(\alpha)$. Известно, что $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, и у нас дано, что $\sin(\alpha) = \frac{2}{3}$, поэтому:

$\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\cos(\alpha)$ положительное, и мы берем положительный корень:

$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Теперь подставим это значение в выражение для $\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$:

$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$

$= \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{6}$