Question

Для функции f(x) =х3 – 2х2 + х + 3 а) Найдите экстремумы функции;б) Найдите интервалы возрастания и убывания функциив) Найдите точки перегибаг) Постройте график функции f(x) = х3- 2х2 +х +3 на отрезке .д) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = х3- 2х2 +х +3 на отрезке .​

Answer 1

Ответ:

б) неверное условие

а) экстремумы найдены на странице твоего вопроса

f(x)=x3-x2-x+2

f'(x)=3x2-2x-1 =0

D=4+12=16

x1=(2-4)/6=-1/3 x2=(2+4)/6=1 - экстремумы функции

Определим знаки производной методом интервалов

+ - +

___________-1/3_________________1______________

Там, где + , функция возрастает, где -, убывает.

При (-оо;-1/3) U (1;+оо) y возр.

(-1/3;1) у убыв.

Answer 2

Давайте решим вашу задачу по частям.

а) Для нахождения экстремумов функции сначала найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки.

f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Чтобы найти критические точки, решим уравнение:

3x^2 - 4x + 1 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-4)^2 - 4(3)(1) D = 16 - 12 = 4

Таким образом, D > 0, и у нас есть два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (4 + 2) / 6 = 6 / 6 = 1 x2 = (-b - √D) / (2a) = (4 - 2) / 6 = 2 / 6 = 1/3

Теперь, найдем значение второй производной, чтобы определить характер экстремумов:

f''(x) = 6x - 4

Теперь, подставим критические точки во вторую производную:

f''(1) = 6(1) - 4 = 2 > 0 f''(1/3) = 6(1/3) - 4 = 2/3 - 4 = -10/3 < 0

При x = 1 у нас есть локальный минимум, а при x = 1/3 - локальный максимум.

б) Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, мы можем использовать информацию о знаке первой производной. Мы уже знаем, что f'(1) = 0 (критическая точка). Теперь создадим знаковую таблицу:

Интервал	Знак f'(x)
(-∞, 1/3)	(-)
(1/3, 1)	(+)
(1, +∞)	(+)

Функция возрастает на интервалах (1/3, 1) и (1, +∞), и убывает на интервале (-∞, 1/3).

в) Чтобы найти точки перегиба, нам нужно найти значения x, при которых вторая производная f''(x) равна нулю или не существует. Мы уже нашли f''(x) выше:

f''(x) = 6x - 4

Решим уравнение:

6x - 4 = 0

6x = 4

x = 4/6 = 2/3

Таким образом, x = 2/3 - это точка перегиба функции.

г) Для построения графика функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3, вы можете использовать найденные значения экстремумов и точки перегиба, а также интервалы возрастания и убывания. Также, учтите, что функция является многочленом третьей степени, поэтому она будет иметь соответствующую форму.

д) Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения функции на заданном интервале, вам нужно вычислить f(x) на критических точках, концах интервала и в точке перегиба, а затем выбрать наибольшее и наименьшее значение. В данном случае, интервал не задан, поэтому вы можете выбрать интервал по вашему усмотрению и вычислить значения f(x) на этом интервале.

Если у вас есть конкретный интервал, на котором вы хотите найти наибольшие и наименьшие значения, пожалуйста, уточните интервал, и я помогу вам выполнить вычисления.