Question

Найти полный дифференциал z=arctg y/x Прошу с объяснением.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала $dz$ функции $z = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ сначала найдем частные производные $dz/dx$ и $dz/dy$. Затем используем эти значения для выражения полного дифференциала $dz$.

1. Нахождение частных производных:

   Пусть $u = \frac{y}{x}$, тогда $z = \arctan(u)$. Правило дифференцирования арктангенса гласит:

   $\frac{d}{du}(\arctan(u)) = \frac{1}{1 + u^2}$.

   Используя правило деления и цепного правила для нахождения частных производных $dz/dx$ и $dz/dy$:

   $$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2 + y^2}.$$
   $$\frac{dz}{dy} = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2 + y^2}.$$

2. Полный дифференциал:

   Полный дифференциал функции $z$ можно записать как:

   $dz = \frac{dz}{dx}dx + \frac{dz}{dy}dy.$

   Подставляя найденные значения частных производных, получаем:

   $dz = -\frac{y}{x^2 + y^2}dx + \frac{1}{x^2 + y^2}dy.$

Итак, полный дифференциал функции $z = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ равен:

$dz = -\frac{y}{x^2 + y^2}dx + \frac{1}{x^2 + y^2}dy.$