Question

1. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. а) 2x^2+8x+20≥0; b) 〖-x〗^2-10x+25>0; c)x^2+3x+2≤0; d) -〖4x〗^2-4>0. 1) Неравенство не имеет решений. 2) Решением неравенства является вся числовая прямая. 3) Решением неравенства является одна точка. 4) Решением неравенства является закрытый промежуток. 5) Решением неравенства является открытый промежуток. 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.

Answer 1

a

$2 {x}^{2} + 8x + 20 \geqslant 0 \\ D = 64 - 2 \times 4 \times 20 = 64 - 160 < 0$

корней нет

Парабола выше ОХ, все у > 0

2. Вся числовая прямая

б

$- {x}^{2} - 10x + 25 > 0 \\ {x}^{2} + 10x - 25 < 0 \\ D= 100 + 100 = 200 > 0$

2 корня

Ветки параболы направлены вверх, у < 0 на закрытом промежутке

4. Закрытый промежуток

с

${x}^{2} + 3x + 2 \leqslant 0 \\ D= 9 - 8 = 1 > 0$

2 корня

Ветки параболы направлены вверх, у <=0 на закрытом промежутке

4. Закрытый промежуток

d

$- 4 {x}^{2} - 4 > 0 \\ 4 {x}^{2} + 4 < 0 \\ 4( {x}^{2} + 1) < 0 \\ {x}^{2} + 1 = 0 \\ {x}^{2} = - 1$

Нет корней

Парабола выше ОХ, все у > 0

1. Нет решений

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

а) 2x^2 + 8x + 20 ≥ 0: Для начала найдем дискриминант квадратного уравнения 2x^2 + 8x + 20 = 0. Дискриминант равен D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4220 = 64 - 160 = -96. Поскольку дискриминант отрицателен, это означает, что уравнение не имеет действительных корней.

Теперь рассмотрим неравенство 2x^2 + 8x + 20 ≥ 0. Поскольку уравнение не имеет корней, то оно либо всегда положительно, либо всегда отрицательно. Однако, так как коэффициент при x^2 положителен (2 > 0), то уравнение всегда положительно. Значит, решением неравенства является вся числовая прямая. Ответ: 2.

b) -x^2 - 10x + 25 > 0: Это квадратное уравнение имеет один корень: x = -5. Следовательно, решением неравенства -x^2 - 10x + 25 > 0 является одна точка, а именно x = -5. Ответ: 3.

c) x^2 + 3x + 2 ≤ 0: Это квадратное уравнение можно разложить на множители: (x + 1)(x + 2) ≤ 0. Корни этого уравнения: x = -1 и x = -2.

Мы можем построить знаки интервалов между корнями и проверить знак выражения внутри каждого интервала:

• Если x < -2, то оба множителя отрицательны, следовательно, произведение положительно.
• Если -2 < x < -1, то первый множитель положителен, а второй отрицателен, следовательно, произведение отрицательно.
• Если x > -1, то оба множителя положительны, следовательно, произведение положительно.

Итак, решением неравенства x^2 + 3x + 2 ≤ 0 является открытый интервал (-2, -1). Ответ: 5.

d) -4x^2 - 4 > 0: Для начала давайте разделим обе стороны неравенства на -4 и инвертируем знак: x^2 + 1 < 0. Теперь, учитывая, что x^2 всегда неотрицательно (квадрат числа всегда неотрицателен), можно заключить, что x^2 + 1 всегда неотрицательно. Следовательно, решением этого неравенства не существует. Ответ: 1.