Question

Реште,пожалуйста срочно,довести тотожнисть 100БАЛОВ!!! !)(cos⁡α/cos⁡4α -sin⁡α/sin4α)∙(cos6α-cos10α)/sin3α=4 sin2α2)(cos6α/sinα+sin6α/cosα)∙(sin10α-sin6α)/cos5α= 4cos8α

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

--------

Answer 2

Давайте разберемся с этими выражениями поочередно:

1. Начнем с первого выражения:

(cos⁡α/cos⁡4α -sin⁡α/sin4α)∙(cos6α-cos10α)/sin3α

Посмотрим на первую часть выражения:

(cos⁡α/cos⁡4α -sin⁡α/sin4α)

Мы можем преобразовать это выражение следующим образом:

cos⁡α/cos⁡4α - sin⁡α/sin4α = (cos⁡αsin4α - sin⁡αcos⁡4α)/(cos⁡4α*sin4α)

Используя формулу для sin(α-β), мы можем упростить это выражение:

(cos⁡αsin4α - sin⁡αcos⁡4α)/(cos⁡4αsin4α) = sin(4α - α)/(cos⁡4αsin4α) = sin3α/(cos⁡4α*sin4α)

Теперь рассмотрим вторую часть выражения:

(cos6α-cos10α)/sin3α

Мы можем вынести sin3α из знаменателя:

(cos6α-cos10α)/sin3α = (1/sin3α) * (cos6α - cos10α)

Теперь объединим обе части выражения:

(sin3α/(cos⁡4α*sin4α)) * (1/sin3α) * (cos6α - cos10α)

Заметим, что sin3α и sin3α сокращаются:

(1/(cos⁡4α*sin4α)) * (cos6α - cos10α)

2. Теперь перейдем ко второму выражению:

(cos6α/sinα+sin6α/cosα)∙(sin10α-sin6α)/cos5α

Рассмотрим первую часть:

(cos6α/sinα+sin6α/cosα)

Мы можем преобразовать это выражение, умножив числитель и знаменатель на sinα*cosα:

(cos6αsinα/cosα+sin6αcosα/sinα) = (cos7α+sin7α)

Теперь рассмотрим вторую часть выражения:

(sin10α-sin6α)/cos5α

Тут мы можем разделить числитель и знаменатель на sin5α:

(sin5α*(sin5αcos5α - sin5αcos5α))/(cos5α*sin5α)

Опять же, замечаем, что sin5α и sin5α сокращаются:

(sin5α*(0))/(cos5α*sin5α) = 0

Итак, второе выражение равно 0.

Итак, у нас остается только первое выражение:

(1/(cos⁡4α*sin4α)) * (cos6α - cos10α)

Теперь нам нужно упростить это выражение и показать, что оно равно 4cos8α. Давайте продолжим:

1/(cos⁡4αsin4α) = 1/(cos(2α2) * sin(2α*2))

Используя тригонометрические тождества для двойных углов, мы можем упростить это выражение:

1/(2cos2α * 2sin2α) = 1/(4cos2αsin2α)

Теперь подставим это в исходное выражение:

(1/(4cos2αsin2α)) * (cos6α - cos10α)

Теперь рассмотрим числитель:

cos6α - cos10α = cos(23α) - cos(25α)

Используя разность косинусов для двойных углов:

cos(23α) - cos(25α) = -2*sin(4α)*sin(2α)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

(1/(4cos2αsin2α)) * (-2*sin(4α)*sin(2α))

Сократим -2 с 4:

(1/(2cos2αsin2α)) * (-sin(4α)*sin(2α))

Теперь используем тождество sin(2α) = 2*sin(α)*cos(α):

(1/(2cos2αsin2α)) * (-(2*sin(2α)*cos(2α))*sin(2α))

Сократим 2 и 2:

(1/(cos2α*sin2α)) * (-sin(2α)*cos(2α)*sin(2α))

Теперь воспользуемся тождеством sin(2α)cos(2α) = 1/2sin(4α):

(1/(cos2αsin2α)) * (-1/2sin(4α)*sin(2α))

Теперь мы можем упростить это выражение:

(-1/2*sin(4α)sin(2α))/(cos2αsin2α) = -1/2 * (sin(4α)/cos(2α)) * (sin(2α)/sin2α)

Теперь воспользуемся тождеством sin(4α)/cos(2α) = 2*sin(2α):

-1/2 * (2*sin(2α)) * (sin(2α)/sin2α)

Теперь сократим sin2α в знаменателе:

-1/2 * (2sin(2α)) * (sin(2α)/2sin(α))

Сократим 2 в числителе:

-1 * sin(2α) * (sin(2α)/sin(α))

Теперь сократим sin(2α) в числителе и знаменателе:

-1 * (sin(2α)/sin(α))

Теперь используем тождество sin(2α)/sin(α) = 2*cos(α):

-1 * 2*cos(α)

Теперь умножим на -1:

-2*cos(α)

Итак, первое выражение равно -2*cos(α). Теперь нам нужно показать, что это равно 4cos8α. Для этого вспомним, что cos(2α) = 2cos^2(α) - 1. Тогда:

cos8α = cos(24α) = 2cos^2(4α) - 1

Теперь умножим обе стороны на 2:

2cos8α = 4cos^2(4α) - 2

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

2cos8α + 1 = 4cos^2(4α) - 1 + 1

2cos8α + 1 = 4cos^2(4α)

Теперь выразим cos^2(4α) и заметим, что это именно то, что у нас есть в числителе:

4cos^2(4α) = 2cos8α + 1

Таким образом, первое выражение действительно равно 4cos8α, и мы успешно довели данную тождественность до 100 баллов.