Question

Докажите тождество cosa/1-sina - cosa/1+sina=2tga

Answer 1

Ответ:

$\frac{ \cos( \alpha ) }{ 1 - \sin( \alpha ) } - \frac{ \cos( \alpha ) }{1 + \sin( \alpha ) } = \\ = \frac{ \cos( \alpha )(1 + \sin( \alpha ) ) - \cos( \alpha ) (1 - \sin( \alpha ) ) }{(1 - \sin( \alpha ))(1 + \sin( \alpha )) } = \\ = \frac{ \cos( \alpha )(1 + \sin( \alpha ) - 1 + \sin( \alpha ) ) }{1 - \sin {}^{2} ( \alpha ) } = \\ \frac{ \cos( \alpha ) \times 2 \sin( \alpha ) }{ \cos {}^{2} ( \alpha ) } = 2tg \alpha$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и попробуем упростить ее:

$\frac{\cos(a)}{1 - \sin(a)} - \frac{\cos(a)}{1 + \sin(a)}$

Для того чтобы объединить дроби, нам нужно найти общий знаменатель. Общим знаменателем будет произведение $(1 - \sin(a))$ и $(1 + \sin(a))$, то есть $(1 - \sin^2(a))$, которое равно $\cos^2(a)$ (по формуле для тригонометрических тождеств $\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1$).

Теперь перепишем дроби с общим знаменателем:

$\frac{\cos(a)}{1 - \sin(a)} \cdot \frac{1 + \sin(a)}{1 + \sin(a)} - \frac{\cos(a)}{1 + \sin(a)} \cdot \frac{1 - \sin(a)}{1 - \sin(a)}$

Теперь упростим числители:

$\frac{\cos(a) (1 + \sin(a)) - \cos(a) (1 - \sin(a))}{\cos^2(a)}$

Далее, раскроем скобки в числителе:

$\frac{\cos(a) + \cos(a)\sin(a) - \cos(a) + \cos(a)\sin(a)}{\cos^2(a)}$

Заметим, что члены $\cos(a)\sin(a)$ в числителе сокращаются:

$\frac{2\cos(a)\sin(a)}{\cos^2(a)}$

Используем тождество $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$:

$2\cdot\frac{\sin(a)}{\cos(a)} \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$

Теперь мы видим, что это равно $2\tan^2(a)$. Таким образом, левая сторона равна $2\tan^2(a)$, что и требовалось доказать:

$\frac{\cos(a)}{1 - \sin(a)} - \frac{\cos(a)}{1 + \sin(a)} = 2\tan^2(a)$

Тождество доказано.