Question

Помогите пожалуйста (Использование дифференциального исчисления функций одной переменной в практических задачах на экстремум) Помогите пожалуйста Задача: Сечение автомобильного тоннеля имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр сечения 22 м. При какой высоте тоннеля площадь сечения будет наибольшей?

Answer 1

Ответ: h=44/(π+4), h≈6,16

Объяснение:Пусть Р-периметр прямоугольника, с крышей полукруга, а - одна сторона прямоугольника, r-радиус полукруга, тогда 2r- вторая сторона прямоугольника

Периметр  Р = πr+ 2r + 2a;

a = (P - r(π+2))/2=(22-πr-2r)/2

Sсеч= S(r) = πr²/2 + 2ar =  πr²/2 + r·(22-πr-2r)=πr²/2 + 22r-πr²-2r²)  

S(r) - зависимость площади сечения от радиуса

S'(r)=  πr+22-2πr-4r =22-πr-4r  

Если S'(r) = 0, то 22-πr-4r=0

r = 22/(4 + π)

Следовательно при данном радиусе площадь сечения будет наибольшей.

Но при данном радиусе r = 22/(4 + π) высота тоннеля h будет равна

h=a+r

a= (22-r(π+2))/2= (22-r(π+2))/2=(22-22(π+2)/(4 + π)

h=a+r=22/(4 + π) +(22-22(π+2)/(4 + π) =44/(π+4)

Если принять π≈3,14, то h≈44/7,14≈6,16

s(r) - зависимость площади сечения от радиуса

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться дифференциальным исчислением. Пусть $x$ будет длиной прямоугольной части сечения (в метрах), а $y$ - радиусом полукруглой части сечения (также в метрах).

Из условия задачи мы знаем, что периметр сечения равен 22 м:

$2x + \pi y = 22$ (1)

Также нам нужно найти выражение для площади сечения. Площадь прямоугольной части сечения равна $xy$, а площадь полукруглой части равна $\frac{\pi y^2}{2}$. Таким образом, общая площадь сечения $S$ равна:

$S = xy + \frac{\pi y^2}{2}$ (2)

Нам нужно найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют уравнению (1) и максимизируют выражение для $S$ из уравнения (2).

Из уравнения (1) можно выразить $x$ через $y$:

$x = \frac{22}{2} - \pi y$

Подставим это выражение для $x$ в уравнение (2):

$S(y) = \left(\frac{22}{2} - \pi y\right) y + \frac{\pi y^2}{2}$

Развернем это уравнение:

$S(y) = 11y - \pi y^2 + \frac{\pi y^2}{2}$

$S(y) = 11y - \frac{\pi y^2}{2}$

Теперь найдем производную $S'(y)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$S'(y) = 11 - \pi y = 0$

Отсюда получаем:

$y = \frac{11}{\pi}$

Теперь найдем вторую производную $S''(y)$ для того, чтобы убедиться, что это точка минимума:

$S''(y) = -\pi < 0$

Таким образом, мы видим, что $S(y)$ имеет максимум при $y = \frac{11}{\pi}$.

Чтобы найти соответствующее значение $x$, подставим $y = \frac{11}{\pi}$ в уравнение (1):

$2x + \pi \left(\frac{11}{\pi}\right) = 22$

$2x + 11 = 22$

$2x = 11$

$x = \frac{11}{2}$

Таким образом, при $x = \frac{11}{2}$ м и $y = \frac{11}{\pi}$ м (или около 3.51 м, если округлить до двух знаков после запятой), площадь сечения будет наибольшей.