Question

Решите уравнение 1/((x-1)(x^2-x+1))=A/(x-1)+(Mx+N)/(x2-x+1) M-?, N-?, A-?

Answer 1

1/((x-1)(x^2-x+1))=A/(x-1)+(Mx+N)/(x2-x+1)

M-?, N-?, A-?

1/((x-1)(x^2-x+1))=(A(x2-x+1)+(Mx+N)(x-1))/(x2-x+1)

знаменатели равны

приравниваем числители

Ax2 - Ax + A + Mx2 - Mx + Nx - N = 1

x2(A + M) - x(A + M + N) + A - N = 1

Систему получили

A + M = 0

A + M + N = 0

A - N = 1

A + M + N - A - M = 0

N = 0

A = 1

M = -1

1/((x-1)(x^2-x+1))=1/(x-1)-x/(x2-x+1)

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала найдем общий знаменатель для правой стороны:

1/((x-1)(x^2-x+1)) = A/(x-1) + (Mx + N)/(x^2-x+1)

Общий знаменатель будет равен произведению знаменателей двух дробей в правой части уравнения, то есть (x-1)(x^2-x+1). Теперь приравняем числители:

1 = A(x^2-x+1) + (Mx + N)(x-1)

Раскроем скобки:

1 = Ax^2 - Ax + A + Mx^2 - Mx + Nx - N

Сгруппируем подобные члены:

(A + M)x^2 + (-A - M + N)x + (A - N) = 1

Теперь у нас есть система уравнений:

1. A + M = 0
2. -A - M + N = 0
3. A - N = 1

Из первого уравнения мы можем выразить A как A = -M. Подставив это значение во второе уравнение, получим:

-(-M) - M + N = 0 M + M + N = 0 2M + N = 0

Теперь мы знаем A и выразили M через N. Подставим A = -M в третье уравнение:

-A - N = 1 -(-M) - N = 1 M - N = 1

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными M и N:

1. 2M + N = 0
2. M - N = 1

Мы можем решить эту систему методом подстановки. Сначала выразим N из второго уравнения:

N = M - 1

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

2M + (M - 1) = 0

Упростим уравнение:

3M - 1 = 0

Теперь выразим M:

3M = 1 M = 1/3

Теперь, зная значение M, мы можем найти N, используя второе уравнение:

M - N = 1 1/3 - N = 1

Выразим N:

N = 1/3 - 1 N = -2/3

Теперь у нас есть значения M и N:

M = 1/3 N = -2/3

Таким образом, M = 1/3, N = -2/3, и A = -M = -1/3.