Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (вычислять не по теореме виета) y=x^2-6x+11 uy=6

Answer 1

Ответ:

$y=x^2-6x+11\ \ ,\ \ y=6\\\\x^2-6x+11=6\ \ ,\ \ \ x^2-6x+5=0\ \ ,\ \ x_1=1\ ,\ x_2=5\\\\S=\int\limits^5_1\, (6-(x^2-6x+11))\, dx=\int\limits^5_1\, (-x^2+6x-5)\, dx=\\\\\\=\Big(-\dfrac{x^3}{3}+3x^2-6x\Big)\Big|_1^5=-\dfrac{125}{3}+75-30-\Big(-\dfrac{1}{3}+3-6\Big)=\\\\\\=48-\dfrac{124}{3}=\dfrac{20}{3}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 6x + 11$ и $y = 6$, нам нужно найти точки их пересечения. Это происходит, когда $y$ в уравнении $y = x^2 - 6x + 11$ равно 6:

$x^2 - 6x + 11 = 6$

Теперь мы можем переписать уравнение в виде:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Далее, чтобы найти корни этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае $a = 1$, $b = -6$, и (c = 5:

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 4}{2}$

Теперь найдем два значения $x$:

1. $x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5$
2. $x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$

Теперь, чтобы найти соответствующие значения $y$ для каждого из этих $x$, мы подставляем их в уравнение $y = x^2 - 6x + 11$:

1. $y_1 = 5^2 - 6 \cdot 5 + 11 = 25 - 30 + 11 = 6$
2. $y_2 = 1^2 - 6 \cdot 1 + 11 = 1 - 6 + 11 = 6$

Теперь у нас есть две точки пересечения: (1, 6) и (5, 6). Эти точки обозначают концы отрезка, ограничивающего фигуру.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя линиями, мы можем найти интеграл функции $y = x^2 - 6x + 11$ на интервале от $x = 1$ до $x = 5$, а затем вычислить разницу между значениями этого интеграла и 6 (так как линия $y = 6$ служит нижней границей площади).

$S = \int_{1}^{5} (x^2 - 6x + 11)dx - 6 \cdot (5 - 1)$ $S = \left[\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 11x\right]_{1}^{5} - 24$ $S = \left[\frac{5^3}{3} - 3 \cdot 5^2 + 11 \cdot 5\right] - \left[\frac{1^3}{3} - 3 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1\right] - 24$ $S = \left[\frac{125}{3} - 75 + 55\right] - \left[\frac{1}{3} - 3 + 11\right] - 24$