Question

В арифметиской прогресси a7=15,а сумма первых пятнадцати элементов равна 150. Найдите а150

Answer 1

$a_{7} =15\\\\S_{15} =150\\\\a_{7} =a_{1}+6d\\\\a_{1}+6d=15\\\\2a_{1} +12d=30\\\\S_{15}=\dfrac{2a_{1}+14d }{2}\cdot15\\\\150=\dfrac{(2a_{1}+12d)+2d }{2}\cdot 15\\\\300=(30+2d)\cdot 15\\\\30+2d=20\\\\2d=-10\\\\d=-5\\\\a_{1}=15-6d=15-6\cdot(-5)=15+30=45\\\\a_{150}=a_{1} +149d=45+149\cdot(-5)=45-745=-700\\\\\boxed{a_{150}=-700}$

Answer 2

Для нахождения элемента а₅₀ в арифметической прогрессии, где a₇ = 15 и сумма первых 15 элементов равна 150, мы можем воспользоваться формулами для арифметической прогрессии.

Первым шагом найдем разность этой прогрессии (d). Мы знаем, что a₇ = 15, и нам нужно найти a₅₀, поэтому разность d можно найти следующим образом:

a₇ = a₁ + 6d 15 = a₁ + 6d

Теперь найдем a₁, начальный член этой прогрессии. Мы знаем, что сумма первых 15 элементов равна 150, и мы можем воспользоваться формулой для суммы первых n элементов арифметической прогрессии:

S₅₀ = (n/2) * [2a₁ + (n-1)d]

Где S₅₀ = 150 (сумма первых 15 элементов), n = 15 и мы знаем d.

150 = (15/2) * [2a₁ + (15-1)d]

Решим это уравнение:

150 = 7.5 * [2a₁ + 14d]

Умножим обе стороны на 2/7.5:

(2/7.5) * 150 = 2a₁ + 14d 40 = 2a₁ + 14d

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 15 = a₁ + 6d
2. 40 = 2a₁ + 14d

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или выразить a₁ из первого уравнения и подставить во второе уравнение. Давайте воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим a₁:

a₁ = 15 - 6d

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

40 = 2(15 - 6d) + 14d

Раскроем скобки:

40 = 30 - 12d + 14d

Теперь объединим переменные:

40 = 30 + 2d

Выразим d:

2d = 40 - 30 2d = 10 d = 5

Теперь, когда мы знаем значение разности (d), мы можем найти a₁:

a₁ = 15 - 6d a₁ = 15 - 6 * 5 a₁ = 15 - 30 a₁ = -15

Теперь мы знаем начальный член a₁ и разность d. Мы можем найти a₅₀, используя формулу арифметической прогрессии:

a₅₀ = a₁ + (50 - 1) * d a₅₀ = -15 + 49 * 5 a₅₀ = -15 + 245 a₅₀ = 230

Итак, a₅₀ (пятидесятый элемент) в данной арифметической прогрессии равен 230.