Question

Дана арифметическая прогрессия, в которой 100 чисел. Разность прогресси равна 60.а)Может ли прогрессия быть 8 чисел, кратных 11?б)Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть в одной прогресси?в) Какое наибольшее количество чисел, кратных 11, может быть в одной прогресси?

Answer 1

Среди 11 чисел, следующих подряд, кратно 11 в точности одно. Это следует из того, что у каждого следующего числа остаток изменяется на 60-55=5 (с учётом явления сброса). При этом получается такая циклически повторяющаяся последовательность остатков, если начать с нулевого: 0, 5, 10, 4, 9, 3, 8, 2, 7, 1, 6. В ней ровно по разу присутствуют все остатки, и понятно, что при другом начальном значении остатка состав чисел останется прежним.

Отсюда следует, что среди 99 чисел прогрессии будет ровно девять кратных 11. Если первое из чисел кратно 11, то среди 100 будет всего десять чисел, которые кратны 11. То есть наименьшее число равно 9, наибольшее равно 10, а ровно 8 быть не может.

Answer 2

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем прибавления к предыдущему числу постоянной разности. Для данной арифметической прогрессии известно, что она содержит 100 чисел, а разность прогрессии равна 60.

Может ли прогрессия быть 8 чисел, кратных 11?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть, какие числа могут быть кратны 11. Число является кратным 11, если его остаток от деления на 11 равен 0.

В данной арифметической прогрессии с разностью 60, чтобы найти кратные 11 числа, нужно найти числа, которые при делении на 11 дают остаток 0.

Мы знаем, что разность прогрессии равна 60, поэтому первое число в прогрессии будет равно a (начальное число), второе число будет равно a + 60, третье число будет равно a + 2 * 60, и так далее.

Чтобы определить, может ли прогрессия содержать 8 чисел, кратных 11, мы должны проверить, можно ли найти такую последовательность чисел в прогрессии, которые делятся на 11 без остатка.

Пусть первое число в прогрессии a = 0. Тогда второе число будет равно 60, третье число будет равно 120, и так далее.

Рассмотрим последовательность чисел: 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420

Как видно, все числа в этой последовательности делятся на 11 без остатка. Таким образом, прогрессия может содержать 8 чисел, кратных 11.

Наименьшее количество чисел, кратных 11, в прогрессии

Для определения наименьшего количества чисел, кратных 11, в прогрессии, необходимо рассмотреть самую маленькую возможную последовательность чисел, которая будет удовлетворять условию.

Мы знаем, что разность прогрессии равна 60, поэтому первое число в прогрессии будет равно a (начальное число), второе число будет равно a + 60, третье число будет равно a + 2 * 60, и так далее.

Рассмотрим последовательность чисел: 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, ...

Как видно, первые восемь чисел в этой последовательности делятся на 11 без остатка. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 11, в прогрессии, равно 8.

Наибольшее количество чисел, кратных 11, в прогрессии

Для определения наибольшего количества чисел, кратных 11, в прогрессии, необходимо рассмотреть самую большую возможную последовательность чисел, которая будет удовлетворять условию.

Мы знаем, что разность прогрессии равна 60, поэтому первое число в прогрессии будет равно a (начальное число), второе число будет равно a + 60, третье число будет равно a + 2 * 60, и так далее.

Рассмотрим последовательность чисел: 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960, 1020, 1080, 1140, 1200, 1260, ...

Как видно, все числа в этой последовательности делятся на 11 без остатка. Таким образом, наибольшее количество чисел, кратных 11, в прогрессии, равно 100.

Вывод

- Прогрессия может содержать 8 чисел, кратных 11. - Наименьшее количество чисел, кратных 11, в прогрессии, равно 8. - Наибольшее количество чисел, кратных 11, в прогрессии, равно 100.