Question

Помогите!! Решение уравнений высших степеней, сводящихся к квадратным. 1) (2х^2-3х+1)(2х^2+5х+1)=9х^22) (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х^2 .

Answer 1

Ответ:

$1) \ \frac{2 - \sqrt{2} }{2} ; \ \frac{2 + \sqrt{2} }{2}; \ \frac{-3 - \sqrt{7} }{2}; \ \frac{-3+ \sqrt{7} }{2}$

Объяснение:

$1) (2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)=9x^2 \ |:x^2, \ x \neq 0 \\ \\ \frac{(2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)}{x^2} =\frac{9x^2}{x^2} \\ \\ \frac{2x^2-3x+1}{x}\cdot \frac{2x^2+5x+1}{x} =9 \\ \\ \left(2x-3+\frac{1}{x}\right)\left(2x+5+\frac{1}{x}\right)=9 \\ \\ 2x+\frac{1}{x}=t \\ \\ (t-3)(t+5)=9 \\ t^2+5t-3t-15=9 \\ t^2+2t-24=0 \\ t_1=4 \\ t_2=-6$

$a) \ 2x+\frac{1}{x}=4 \ |\cdot x \\ \\ 2x^2+1=4x \\ 2x^2-4x+1=0 \\ D=16-4 \cdot 2= 8 \\ \sqrt{D}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \\ \\ x_{1,2}=\frac{4 \pm2\sqrt{2}}{4} =\frac{2 \pm\sqrt{2}}{2} \\ \\ b) \ 2x+\frac{1}{x}=-6 \ |\cdot x \\ \\ 2x^2+1=-6x \\ 2x^2+6x+1=0 \\ D=36-4 \cdot 2= 28 \\ \sqrt{D}=\sqrt{28}=2\sqrt{7} \\ \\ x_{3,4}=\frac{-6 \pm2\sqrt{7}}{4} =\frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2}$

$2) \ (x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x^2$

Заметим, что произведение чисел в первой и четвертой скобках равно 24 (2*12=24).

И произведение во второй и третьей скобках тоже равно 24 (3*8=24).

Сгруппируем их и раскроем скобки

$(x+2)(x+12)(x+3)(x+8)=4x^2 \\ \\ (x^2+12x+2x+24)(x^2+8x+3x+24)=4x^2 \\ \\ (x^2+14x+24)(x^2+11x+24)=4x^2$

далее решается аналогично первому примеру

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и попробуем свести его к уравнению второй степени.

1. Уравнение (2x^2 - 3x + 1)(2x^2 + 5x + 1) = 9x^2:

Давайте умножим оба множителя, чтобы получить одно уравнение:

(2x^2 - 3x + 1)(2x^2 + 5x + 1) = 9x^2

Раскроем скобки:

(2x^2 - 3x + 1)(2x^2 + 5x + 1) = 9x^2

4x^4 - 6x^3 + 2x^2 + 10x^3 - 15x^2 + 5x + 2x^2 - 3x + 1 = 9x^2

Теперь сгруппируем подобные члены:

4x^4 + (10x^3 - 6x^3) + (2x^2 - 15x^2 + 2x^2) + (5x - 3x) + 1 = 9x^2

4x^4 + 4x^3 - 11x^2 + 2x - 3 = 9x^2

Переносим все члены влево и приводим подобные члены:

4x^4 + 4x^3 - 11x^2 + 2x - 3 - 9x^2 = 0

4x^4 + 4x^3 - 20x^2 + 2x - 3 = 0

Теперь это уравнение четвёртой степени. Оно не является квадратным, и его решение может потребовать более сложных методов, таких как численное решение или применение специализированных алгоритмов.

2. Уравнение (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2:

Давайте умножим оба множителя, чтобы получить одно уравнение:

(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2

Раскроем скобки:

(x^2 + 5x + 6)(x^2 + 20x + 96) = 4x^2

Теперь умножим множители:

(x^2 + 5x + 6)(x^2 + 20x + 96) = 4x^2

x^4 + 20x^3 + 96x^2 + 5x^3 + 100x^2 + 480x + 6x^2 + 120x + 576 = 4x^2

x^4 + 25x^3 + 202x^2 + 576x + 576 = 4x^2

Теперь сгруппируем подобные члены:

x^4 + (25x^3 - 4x^2) + 576x + 576 = 0

x^4 + 25x^3 - 4x^2 + 576x + 576 = 0

Это также уравнение четвёртой степени, и его решение требует более сложных методов.