Question

Для каждого значения параметра a решите неравенство: 1)x(a+4)^2≤0 2)(a-5)x>a^2 -25

Answer 1

$1) ~ x(a+4)^{2} \leq 0$

Если $a + 4 = 0; ~ a = -4$, то $x \cdot 0^{2} \leq 0$ — правда, значит $x$ — любое действительное число.

Если $a + 4 \neq 0; ~ a \neq -4$, то $x \leq 0$ (поделили обе части неравенства на $(a+4)^{2} > 0$)

Ответ:

• если $a \in (-\infty; ~ {-}4) \cup (-4; {+}\infty)$, то $x \in (-\infty;~ 0]$

• если $a \in \{-4\}$, то $x \in (-\infty; ~ {+}\infty)$

$2) ~ (a-5)x > a^{2} - 25$

Если $a = 5$, то $0 \cdot x > 0$ — ложь, значит $x \in \varnothing.$

Если $a > 5$, то $x > \dfrac{a^{2} - 25}{a - 5}; ~ x > \dfrac{(a-5)(a+5)}{a-5}; ~ x > a+5.$

Если $a < 5$, то $x < \dfrac{a^{2} - 25}{a - 5}; ~ x < a+5.$

Ответ:

• если $a \in (-\infty; ~5)$, то $x \in (-\infty;~ a+5)$

• если $a \in \{5\}$, то $x \in \varnothing$

• если $a \in (5; ~{+}\infty)$, то $x \in (a+5; ~ {+}\infty)$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по очереди:

1. x(a+4)^2 ≤ 0

Для решения этого неравенства, мы можем использовать метод интервалов. Сначала найдем значения параметра a, при которых левая сторона неравенства равна нулю:

a + 4 = 0 a = -4

Это значение a дает нам ноль в левой части неравенства. Теперь мы знаем, что это неравенство меняет знак при a = -4. Таким образом, у нас есть два интервала:

a < -4: В этом интервале (a+4)^2 положительно, и, умножая на x, неравенство становится x * положительное_число ≤ 0, что означает, что x должно быть меньше или равно нулю.

a > -4: В этом интервале (a+4)^2 также положительно, и x * положительное_число ≤ 0, что означает, что x должно быть больше или равно нулю.

Итак, решение неравенства для разных интервалов:

a < -4: x ≤ 0 a > -4: x ≥ 0

2. (a-5)x > a^2 - 25

Для решения этого неравенства, сначала упростим его:

ax - 5x > a^2 - 25

Теперь выразим x:

x(a - 5) > a^2 - 25

x > (a^2 - 25) / (a - 5)

Теперь давайте рассмотрим интервалы:

a < -5: Знаменатель (a - 5) положителен, и числитель (a^2 - 25) также положителен. Таким образом, x > положительное_число, что означает, что x должно быть больше нуля.

-5 < a < 5: Знаменатель (a - 5) отрицателен, а числитель (a^2 - 25) положителен. Таким образом, x < положительное_число, что означает, что x должно быть меньше нуля.

a > 5: Знаменатель (a - 5) положителен, и числитель (a^2 - 25) также положителен. Таким образом, x > положительное_число, что означает, что x должно быть больше нуля.

Итак, решение неравенства для разных интервалов:

a < -5: x > 0 -5 < a < 5: x < 0 a > 5: x > 0