Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1-х 2, у=-х-1

Answer 1

Ответ:    4.5 (кв.ед).

Объяснение:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1-х 2, у=-х-1.

--------------------

Решение.

Построим графики функций    у=1-х²;   у=-х-1.

Пределы интегрирования от -1  до 2.  (См. скриншот).

Площадь S=∫₋₁²(1-x²-(-x-1))dx=∫₋₁²(1-x²+x+1)dx=∫₋₁²2dx-∫₋₁²x²dx+∫₋₁²xdx=

=-1/3x³|₋₁²+1/2x²|₋₁²+2x|₋₁²=(-1/3*8+1/2*4+2*2) - (-1/3*(-1)+1/2*1+2(-1)) =

=9/2=4.5 (кв.ед).

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций у = 1 - x^2 и у = -x - 1, нужно найти точки их пересечения, а затем использовать интеграл для вычисления площади между ними.

Сначала найдем точки пересечения:

1. Поставим у = 1 - x^2 и у = -x - 1 равными друг другу: 1 - x^2 = -x - 1

2. Прибавим x и 1 к обеим сторонам уравнения: 1 - x^2 + x + 1 = 0

3. Упростим уравнение: -x^2 + x + 2 = 0

4. Решим квадратное уравнение, например, используя квадратное уравнение. Получаем два корня: x₁ ≈ -1.73 и x₂ ≈ 1.73

Теперь мы знаем, что наш интервал интегрирования будет от x = -1.73 до x = 1.73. Теперь можно найти соответствующие значения у для каждой из этих точек, подставив их в уравнения:

Для y = 1 - x^2: y₁ = 1 - (-1.73)^2 ≈ 0.01 y₂ = 1 - (1.73)^2 ≈ -1.98

Для y = -x - 1: y₁ = -(-1.73) - 1 ≈ 0.73 y₂ = -(1.73) - 1 ≈ -2.73

Теперь мы можем вычислить площадь между этими кривыми, используя интеграл:

Площадь = ∫[от -1.73 до 1.73] (1 - x^2 - (-x - 1)) dx Площадь = ∫[от -1.73 до 1.73] (2 - x^2 + x) dx

Теперь найдем этот интеграл:

Площадь = [2x - (x^3/3) + (x^2/2)] от -1.73 до 1.73

Площадь = [(2 * 1.73 - (1.73^3/3) + (1.73^2/2)) - (2 * (-1.73) - ((-1.73)^3/3) + ((-1.73)^2/2))]

После вычислений получим приблизительное значение площади между этими двумя кривыми.