Question

В знакочередующейся геометрической прогрессии третий член равен 135, а сумма первых трех ее членов равна 195. Найдите первый член прогрессии.

Answer 1

Ответ:

240

Объяснение:

Давайте выразим второй и третий члены данной прогрессии через тертий член и знаменатель q. Теперь запишем выражение для суммы первых трёх членов в виде квадратного уравнения:

135/q^2 + 135/q + 135 = 195

135 + 135q +135q^2 -195q^2= 0, откуда:

q1 = -3/4  

q2 = 3

По условию подходит только отрицательный знаменатель. Теперь найдем первый член прогрессии через третий:

a1 = a3/q^2 = 135/(9/16) = 240

Ответ: первый член последовательности равен 240

Answer 2

Для нахождения первого члена знакочередующейся геометрической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:

1. Общий член знакочередующейся геометрической прогрессии выражается как: A_n = A_1 * r^(n-1)

2. Сумма первых n членов такой прогрессии: S_n = A_1 / (1 - r) * (1 - (-r)^n)

Дано, что третий член равен 135, то есть A_3 = 135.

Также дано, что сумма первых трех членов равна 195, то есть S_3 = 195.

Мы можем выразить A_3 и S_3 в терминах A_1 и r:

A_3 = A_1 * r^2 S_3 = A_1 / (1 - r) * (1 - (-r)^3)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (A_1 и r):

1. A_3 = A_1 * r^2
2. S_3 = A_1 / (1 - r) * (1 - (-r)^3

Сначала найдем r, разделив уравнение 1 на уравнение 2:

A_3 / S_3 = (A_1 * r^2) / (A_1 / (1 - r) * (1 - (-r)^3))

Сократим A_1:

A_3 / S_3 = r^2 / (1 - r) * (1 - (-r)^3)

Теперь подставим известные значения:

135 / 195 = r^2 / (1 - r) * (1 - (-r)^3)

Умножим обе стороны на 195 (чтобы избавиться от дроби):

135 = 195 * r^2 / (1 - r) * (1 - (-r)^3)

135 = 195 * r^2 / (1 - r) * (1 - r^3)

Далее, умножим обе стороны на (1 - r) для избавления от дроби:

135 * (1 - r) = 195 * r^2 * (1 - r^3)

Распишем (1 - r^3) как разность кубов:

135 * (1 - r) = 195 * r^2 * (1 - r) * (1 + r + r^2)

Теперь можно сократить общий множитель (1 - r):

135 = 195 * r^2 * (1 + r + r^2)

Перенесем все члены на одну сторону:

195 * r^2 * (1 + r + r^2) - 135 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно r. Мы можем решить его и найти значения r. После этого можно будет найти A_1, используя уравнение A_3 = A_1 * r^2.