Question

СРОЧНО тотожность (1-cos^2альфа)(1+tg^2альфа)=tg^2альфа

Answer 1

$(1-Cos^{2} \alpha)(1+tg^{2}\alpha)=tg^{2}\alpha\\\\\Big(1-Cos^{2} \alpha\Big)\Big(1+tg^{2}\alpha\Big)=Sin^{2}\alpha\cdot \Big(1+\dfrac{Sin^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha} \Big)=\\\\=Sin^{2} \alpha\cdot\dfrac{Sin^{2}\alpha+Cos^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha} =Sin^{2} \alpha\cdot\dfrac{1}{Cos^{2}\alpha} =\dfrac{Sin^{2}\alpha }{Cos^{2}\alpha}=tg^{2}\alpha$

Тождество доказано

Answer 2

Давайте разберемся с данным уравнением. Уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

(1 - cos^2(α))(1 + tg^2(α)) = tg^2(α)

Давайте попробуем упростить его.

Используя тригонометрические тождества, мы можем заметить, что:

1 - cos^2(α) = sin^2(α)

И

1 + tg^2(α) = sec^2(α)

Теперь уравнение становится:

sin^2(α) * sec^2(α) = tg^2(α)

Поскольку sec^2(α) = 1/cos^2(α), можно заменить sec^2(α) в уравнении:

sin^2(α) * (1/cos^2(α)) = tg^2(α)

Теперь можно упростить, перемножив обе стороны уравнения на cos^2(α):

sin^2(α) = tg^2(α) * cos^2(α)

Теперь мы можем использовать определение тангенса (tg(α) = sin(α) / cos(α)):

(sin(α) / cos(α))^2 * cos^2(α) = tg^2(α) * cos^2(α)

(sin^2(α) / cos^2(α)) * cos^2(α) = tg^2(α) * cos^2(α)

sin^2(α) = tg^2(α) * cos^2(α)

Теперь, используя тождество тангенса и косинуса (tg^2(α) = 1 - cos^2(α)), мы можем заменить tg^2(α) в уравнении:

sin^2(α) = (1 - cos^2(α)) * cos^2(α)

Теперь это уравнение можно решить. Давайте умножим обе стороны на cos^2(α):

sin^2(α) * cos^2(α) = (1 - cos^2(α)) * cos^4(α)

Теперь раскроем скобки:

sin^2(α) * cos^2(α) = cos^4(α) - cos^2(α) * cos^4(α)

Теперь объединим члены справа:

sin^2(α) * cos^2(α) = cos^4(α) * (1 - cos^2(α))

Теперь можно сократить cos^2(α) с обеих сторон уравнения:

sin^2(α) = cos^4(α) * (1 - cos^2(α))

Теперь у нас есть уравнение, которое может быть решено для α. Однако решение этого уравнения будет довольно сложным, и оно зависит от конкретных значений sin^2(α) и cos^2(α).