Question

Упростите выражения пожалуйста: 1)sin(-альфа)/cos^2(-альфа)-1 2)sin^2(-альфа)-1/cos(-альфа) 3sin^2альфа-1+cos^2альфа+(1-sinальфа)(1+sinальфа) 4)2sin^2альфа-1/1-2cos^2альфа 5)cos^2альфа-1/3-3sin^2альфа 6)4/sin^2альфа-4 ctg^2альфа

Answer 1

$1) \frac{sin(- \alpha )}{cos ^{2}(- \alpha ) - 1} = \frac{-sin \alpha }{cos ^{2} \alpha - 1 } = \frac{-sin \alpha }{-sin ^{2} \alpha } = \frac{1}{ sin \alpha } = sin ^{-1} \alpha$

$2) \frac{sin ^{2}(- \alpha )-1 }{cos(- \alpha )} = \frac{sin ^{2} \alpha - 1 }{cos \alpha } = \frac{-cos^{2} \alpha }{cos \alpha } = -cos \alpha$

$3) sin ^{2} \alpha - 1 + cos ^{2} \alpha + (1 - sin ^{2} \alpha )(1 + sin ^{2} \alpha ) =$ $-cos ^{2} \alpha + cos ^{2} \alpha +1 - sin ^{2} \alpha = cos ^{2} \alpha$

$4) \frac{2sin ^{2} \alpha - 1 }{1 - 2cos ^{2} \alpha } = \frac{- cos ^{2 } \alpha + sin ^{2} \alpha }{sin ^{2} \alpha - cos ^{2} \alpha } = 1$

$5) \frac{cos ^{2} \alpha - 1 }{3 - 3 sin^{2} \alpha } = \frac{-sin ^{2} \alpha }{3cos ^{2} \alpha } = -\frac{1}{3} tg ^{2} \alpha$

$6) \frac{4}{sin ^{2} \alpha } - 4ctg ^{2} \alpha = \frac{4}{sin ^{2} \alpha } -\frac{4cos ^{2} \alpha }{sin ^{2} \alpha } = \frac{4 - 4cos ^{2} \alpha }{sin ^{2} \alpha } = \frac{4sin ^{2} \alpha }{sin ^{2} \alpha } = 4$

Answer 2

Давайте упростим данные выражения:

1) \(\frac{\sin(-\alpha)}{\cos^2(-\alpha)} - 1\)

Сначала используем тождество \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\) и \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\):

\(-\frac{\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} - 1\)

Теперь объединим дроби:

\(-\frac{\sin(\alpha) + \cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}\)

Используем тождество \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\):

\(-\frac{1}{\cos^2(\alpha)}\)

Теперь инвертируем и умножаем числитель и знаменатель на \(\cos^2(\alpha)\):

\(-\cos^2(\alpha)\)

2) \(\frac{\sin^2(-\alpha) - 1}{\cos(-\alpha)} + 3\sin^2(\alpha) - 1 + \cos^2(\alpha) + (1 - \sin(\alpha))(1 + \sin(\alpha))\)

Используем тождество \(\sin^2(-\theta) = \sin^2(\theta)\) и \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\):

\(\frac{\sin^2(\alpha) - 1}{\cos(\alpha)} + 3\sin^2(\alpha) - 1 + \cos^2(\alpha) + (1 - \sin(\alpha))(1 + \sin(\alpha))\)

Разбиваем на отдельные части:

\(\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{1}{\cos(\alpha)} + 3\sin^2(\alpha) - 1 + \cos^2(\alpha) + (1 - \sin^2(\alpha))\)

Упрощаем дробь и сгруппируем подобные термины:

\(\tan(\alpha) - \frac{1}{\cos(\alpha)} + 4\sin^2(\alpha)\)

3) \(\frac{2\sin^2(\alpha) - 1}{1 - 2\cos^2(\alpha)}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(\cos^2(\alpha)\):

\(\frac{2\tan^2(\alpha) - 1}{\tan^2(\alpha) - 2}\)

4) \(\frac{\cos^2(\alpha) - 1}{3 - 3\sin^2(\alpha)}\)

Факторизуем числитель и знаменатель:

\(\frac{(\cos(\alpha) + 1)(\cos(\alpha) - 1)}{3(1 - \sin^2(\alpha))}\)

Используем тождество \(\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)\):

\(\frac{(\cos(\alpha) + 1)(\cos(\alpha) - 1)}{3\cos^2(\alpha)}\)

5) \(\frac{4}{\sin^2(\alpha) - 4 + \cot^2(\alpha)}\)

Упростим знаменатель:

\(\frac{4}{\cot^2(\alpha) - 3}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(\cot^2(\alpha)\):

\(\frac{4}{\tan^2(\alpha) - 3}\)

6) \(\frac{4}{\sin^2(\alpha) - 4 + \cot^2(\alpha)}\)

Похоже на предыдущее выражение. Ошибка в формулировке? Если нет, уточните, пожалуйста.