Question

В чем смысл теоремы Виета? Как использовать?

Answer 1

Теорема Виета позволяет быстрее решать приведенные квадратные уравнения, не прибегая к объемному способу решения через дискриминант.

Приведенными квадратными уравнениями называются те квадратные уравнения, в которых коэффициент а=1 (для формулы ax²+bx+c=0)

То есть, общий вид этих уравнений таков: x²+bx+c=0

Согласно теореме, сумма решений уравнения равна противоположному значению коэффициента b, а произведение решений равно коэффициенту с:

x₁+x₂=-b

x₁*x₂=c

Решаются такие уравнения подбором чисел, которые подходили бы под оба условия теоремы. Например:

x²+6x+8=0

x₁+x₂=-6

x₁*x₂=8

Мы видим, что сумма решений отрицательна, значит как минимум одно из решений меньше нуля. В таком случае, произведение тоже было бы отрицательным, но это не так. Значит оба решения меньше нуля. Вспоминаем, какие числа при умножении дают 8:

-1 и -8 не подходит, так как -1+(-8)=-9, а не -6, как нужно нам

-2 и -4 подходит, так как -2+(-4)=-6, а -2*(-4)=8

Следовательно, решениями являются числа -2 и -6, так как соответствуют обоим условиям теоремы.

Answer 2

Теорема Виета - это набор математических утверждений, связанных с коэффициентами и корнями уравнений. Эта теорема названа в честь французского математика Франсуа Виета, который жил в XVI веке. Смысл теоремы Виета заключается в том, что она устанавливает связь между коэффициентами многочлена и суммой и произведением его корней. Теорема Виета применяется в алгебре для анализа уравнений и нахождения информации о корнях многочленов.

Сформулируем теорему Виета для квадратного уравнения в общем виде:

Пусть у нас есть квадратное уравнение вида: ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты этого уравнения. Если его корни обозначаются как x1 и x2, то теорема Виета утверждает следующее:

1. Сумма корней: x1 + x2 = -b/a.
2. Произведение корней: x1 * x2 = c/a.

Те же принципы могут быть расширены на многочлены более высокой степени. Например, для кубического многочлена вида ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 и его корней x1, x2 и x3 теорема Виета будет иметь вид:

1. Сумма корней: x1 + x2 + x3 = -b/a.
2. Взаимные суммы произведений пар корней: x1x2 + x2x3 + x1*x3 = c/a.
3. Произведение корней: x1 * x2 * x3 = -d/a.

Теорема Виета предоставляет полезный инструмент для вычисления суммы и произведения корней многочленов без необходимости нахождения самих корней. Это может быть полезно, например, при анализе уравнений и при решении задач, связанных с коэффициентами многочленов.