Question

Помогите с примером, пожалуйста, дам 25 баллов sin^3x+cos^3x=sin^2x+cos^2x

Answer 1

Ответ:

x={2nπ; π/+2nπ}, n€Z

Объяснение:

sin³x+cos³x=sin²x+cos²x

Известно, что -1≤sinx≤1, -1≤cosx≤1. Тогда

sin³x≤sin²x, cos³x≤cos²x. Значит должны выполняться одновременно два равенства

sin³x=sin²x, cos³x=cos²x

Рассмотрим первое sin³x=sin²x

sin²x(sinx-1)=0

1) sinx=0

x=kπ

cos²x=cos²kπ=(±1)²=1

cos³x=1

cosx=1

x=2nπ

2) sinx=1

x=π/2+2nπ

cos²(π/2+2nπ)=cos³(π/2+2nπ)=0

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим уравнение:

$\sin^3x + \cos^3x = \sin^2x + \cos^2x$

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями. Помним, что $\sin^2x + \cos^2x = 1$ (тождество Пифагора).

Используем также идентичность $\sin^3x = \sin^2x \cdot \sin x$ и $\cos^3x = \cos^2x \cdot \cos x$. Таким образом, уравнение можно переписать так:

$\sin^2x \cdot \sin x + \cos^2x \cdot \cos x = 1$

Теперь используем идентичность для произведения синуса и косинуса угла:

$\sin^2x \cdot \sin x + \cos^2x \cdot \cos x = \sin x \cdot \cos x$

Таким образом, наше уравнение теперь выглядит следующим образом:

$\sin x \cdot \cos x = 1$

Данное уравнение имеет множество решений. Например, если взять $\sin x = 1$ и $\cos x = 1$, то условие выполняется, так как $1 \cdot 1 = 1$. Также, если взять $\sin x = -1$ и $\cos x = -1$, то условие также выполняется, так как $(-1) \cdot (-1) = 1$.

Таким образом, уравнение имеет множество решений вида $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ - любое целое число.