Question

Подскажите пожалуйста,как доказать что когда сумма n первых членов последовательности можно посчитать по формуле Sn=n^2- 3n,то эта последовательность является арифметической прогрессией?

Answer 1

$S_n=n^2- 3n$

Воспользуется тем, что сумма первых n членов последовательности равна сумме первых (n-1) членов последовательности и n-ого члена последовательности:

$S_n=S_{n-1}+a_n$

Отсюда выразим n-ый член последовательности:

$a_n=S_n-S_{n-1}$

Найдем его:

$a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2- 3n)-((n-1)^2- 3(n-1))=$

$=(n^2- 3n)-(n^2-2n+1-3n+3)=(n^2- 3n)-(n^2-5n+4)=$

$=n^2- 3n-n^2+5n-4=\boxed{2n-4}$

Как видно, n-ый член последовательности имеет форму n-ого члена арифметической прогрессии, который обычно записывается так:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Преобразовав, можно получить:

$a_n=dn+a_1-d$

Получаем несложную систему для нашего случая:

$\begin{cases} d=2\\ a_1-d=-4} \end{cases}$

Дорешав которую, можно определить какая именно арифметическая прогрессия имелась в виду:

$\begin{cases} a_1=-2 \\ d=2} \end{cases}$

Answer 2

Доказательство:

Дана последовательность

$S_n = n^2 - 3n~~~~(1)$

Допустим, что эта последовательность арифметическая прогрессия, тогда

при n = 1  получаем

$S_1 = a_1 = 1^2 - 3 \cdot 1 = -2$

при n = 2

$S_2 = a_1 + a_2 = 2^2- 3 \cdot 2 = -2$

и

а₂ = -2 - а₁ = -2 + 2 = 0

Таким образом разность арифметической прогрессии

d = a₂ - a₁ = 0 + 2 =  2

По известной формуле найдем n-й член  арифметической прогрессии

$a_n =a_1 + d\cdot (n-1) = -2 + 2\cdot (n-1) = 2n-4$

Известно, что сумма n членов арифметической прогрессии

$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n~~~~~~~(2)$

Докажем, что выражение (2) тождественно выражению (1) при

a₁ = -2 и $a_n =2n - 4$, подставив  в (2)

$S_n= \dfrac{-2-4 + 2n}{2}\cdot n = \dfrac{-6 + 2n}{2}\cdot n =(n - 3)\cdot n = n^2 - 3n$

Тождество доказано.

Следовательно, последовательность, определённая суммой $S_n = n^2 - 3n$ является  арифметической прогрессией.

Answer 3

Для доказательства того, что последовательность является арифметической прогрессией, вам нужно показать, что разница между любыми двумя последовательными членами постоянна.

У вас есть формула для суммы первых n членов последовательности: Sn = n^2 - 3n.

1. Найдем формулу для n-го члена последовательности (an). Для этого найдем разницу между суммой первых n членов и суммой первых (n-1) членов:

   an = Sn - Sn-1 an = (n^2 - 3n) - ((n-1)^2 - 3(n-1))

2. Выразим an через n и n-1:

   an = (n^2 - 3n) - ((n^2 - 2n + 1) - 3n + 3) an = n^2 - 3n - (n^2 - 2n + 1 - 3n + 3) an = n^2 - 3n - n^2 + 2n - 1 + 3n - 3

3. Упростим выражение:

   an = n^2 - 3n - n^2 + 2n - 1 + 3n - 3 an = -n + 2n - 1 + 3n - 3 an = 4n - 4

Таким образом, мы нашли формулу для n-го члена последовательности: an = 4n - 4.

4. Теперь мы видим, что разница между соседними членами последовательности равна 4, что является постоянной величиной.

Поскольку разница между любыми двумя последовательными членами постоянна (в данном случае 4), это доказывает, что данная последовательность является арифметической прогрессией.