Question

Легкий параметр(на т.виета) Помогите с решением Найдите все a, при которых уравнение (a − 3)x^2− 6x + a + 5 = 0 имеет только отрицательные корни.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) а=3

-6х+3+5=0

х = 4/3, что нам не подходит, значит а≠3

Тогда по теореме Виета х1+х2=6/(а-3),

х1*х2=(а+5)/(а-3)

Так как корни отрицательные,значит их произведение положительно, а сумма отрицательна

6/(а-3) <0 , (а+5)/(а-3) > 0

а < 3, а Є (-∞;-5) в объединении с (3;+∞)

Пересечение это а є (-∞;-5)

Также если вершина параболы находится ниже оси Х(так как у нас а є(-∞-5) и это значит, что у параболы ветви вниз), то корней и вовсе нет, значит проверим Хв = 3/(а-3)

Подставляем, находим Ув, он должен быть ≥0

Откуда получаем что

(а-3) * ( 3/(а-3) )^2 -6*3/(а-3) +а + 5≥0

(а-4)(а+6)/(а-3) ≥ 0

Откуда получаем а є [-6;3) в объединении с [4;+∞)

Пересекая этот ответ с предыдущим получаем, что а є (-6;-5)

Ответ: а є [-6;-5)

Answer 2

Ответ:

х ∈ [ -6; -5)

Объяснение:

для более понятного решения, поскольку уравнение обычно представляют в виде

ах² +bx +c =0, а у нас тоже есть а, то мы обозначим уравнение так

a'x² +bx +c = 0

тогда наше а останется как а

теперь решение

$\displaystyle x_1+x_2=\frac{-b}{a'}$

поскольку корни должны быть отрицательные,

то -b/a' должно быть <0

$\displaystyle \frac{-b}{a'} = \frac{6}{a-3} \\\\\frac{6}{a-3}< 0\quad 6>0\quad \Rightarrow a-3 < 0\quad \underline {\boldsymbol {a$

это первое условие

теперь второе

$\displaystyle x_1*x_2=\frac{c}{a'}$

поскольку оба корня должны быть отрицательны, их произведение должно быть положительно

$\displaystyle \frac{c}{a'} =\frac{a+5}{a-3}$

поскольку у нас (а-3) < 0 (знаменатель) по первому условию, то для получения положительной дроби числитель тоже должен быть <0

a +5 < 0    ⇒  a < -5   это второе условие.

и теперь проверим вершину параболы, чтобы она была выше оси ох и ветвями вниз

координата вершины по  y

$\displaystyle -\frac{b^2-4a'c}{4a} =-\frac{36-4(a-3)(a+5)}{4(a-3) } =-\frac{4(9-(a^2-2a+24)}{4(a-3)} =\frac{a^2+2a-24}{a-3}$

и вот это должно быть ≥0

а поскольку у нас (а-3) <0, то для получения положительной дроби мы рассмотрим числитель ≤0

a² +2a -24 ≤ 0  ⇒   -6 ≤ x ≤4   и это наше третье условие

и вот теперь объединим все три условия и получим ответ

-6 ≤ x < -5

ответ

х ∈ [ -6; -5)

Answer 3

Для того чтобы уравнение имело только отрицательные корни, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть положительным, и при этом коэффициент при x^2 (a - 3) должен быть положительным. Это обусловлено тем, что уравнение имеет вид:

ax^2 - 6x + a + 5 = 0

1. Дискриминант D = b^2 - 4ac должен быть положительным:

(-6)^2 - 4(a - 3)(a + 5) > 0

36 - 4(a^2 - 3a + 5a - 15) > 0 36 - 4(a^2 + 2a - 15) > 0 36 - 4a^2 - 8a + 60 > 0 -4a^2 - 8a + 96 > 0

2. Коэффициент при x^2 (a - 3) также должен быть положительным:

a - 3 > 0

Теперь мы имеем два неравенства:

1. -4a^2 - 8a + 96 > 0
2. a - 3 > 0

Решим неравенство (2):

a - 3 > 0 a > 3

Теперь рассмотрим неравенство (1). Мы можем разделить обе стороны на -4 и изменить направление неравенства:

a^2 + 2a - 24 < 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения a^2 + 2a - 24 = 0 и определим интервалы, на которых неравенство выполняется.

(a - 4)(a + 6) < 0

Корни уравнения: a1 = -6 и a2 = 4. Теперь мы знаем, что на интервалах (-∞, -6) и (4, +∞) неравенство выполняется. Однако, так как мы ищем a, при которых уравнение имеет только отрицательные корни, нам подходит только интервал (4, +∞), так как на интервале (-∞, -6) уравнение будет иметь положительный коэффициент при x^2 (a - 3), что не соответствует условию.

Итак, условиями, при которых уравнение имеет только отрицательные корни, являются:

a > 3 и 4 < a < ∞

Интервал (4, +∞) удовлетворяет этим условиям.