Question

Доказать, что число a=(x-y)²(x+y+1)² делится на 4 при любых целых x и y. Прошу вас, дать полное решение примера ,а не просто скопировать с другого источника решение ,я это и сам могу сделать.Дам максимум баллов!!!

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пояснение:

$a = (x - y) {}^{2} (x + y + 1) {}^{2} = ((x - y)(x + y + 1)) {}^{2} = \\ = ( {x}^{2} + x - y {}^{2} - y) {}^{2} = (x(x + 1) - y(y +1)) {}^{2}$

Пусть x четен, тогда x(x+1) четно.

Пусть x нечетен, тогда (x+1) четно и => x(x+1) четно.

Аналогично y(y+1) четно.

Значит x(x+1)-y(y+1)=2k четно.

Учитывая это, получим:

$\dfrac{(x(x + 1) - y(y + 1)) {}^{2} }{4} = \dfrac{(2k) {}^{2} }{4} = \dfrac{4k {}^{2} }{4} = k {}^{2}$

Таким образом, мы получили, что исходное число делится на 4 при любых целых x и y.

Задание выполнено!

Answer 2

Хорошо, давайте докажем, что число $a = (x - y)^2(x + y + 1)^2$ делится на 4 для любых целых чисел $x$ и $y$.

Чтобы понять, делится ли число на 4, нам нужно рассмотреть его остаток при делении на 4. Пусть $a = (x - y)^2(x + y + 1)^2$. Рассмотрим два случая:

1. Если $x$ и $y$ оба четные:
   Пусть $x = 2m$ и $y = 2n$, где $m$ и $n$ - целые числа. Тогда $a = (2m - 2n)^2(2m + 2n + 1)^2 = 4(m - n)^2(2m + 2n + 1)^2.$

   Видно, что $a$ является произведением двух целых чисел и, следовательно, делится на 4.

2. Если $x$ и $y$ оба нечетные: Пусть $x = 2m + 1$ и $y = 2n + 1$, где $m$ и $n$ - целые числа. Тогда $a = (2m + 1 - 2n - 1)^2(2m + 1 + 2n + 1 + 1)^2 = (2m - 2n)^2(2m + 2n + 3)^2.$

   Вновь видно, что $a$ является произведением двух целых чисел и, следовательно, делится на 4.

Таким образом, в обоих случаях число $a$ делится на 4. Это означает, что для любых целых чисел $x$ и $y$, $a$ делится на 4.