Question

100 баллов!!!! 6 класс На доске выписаны все семизначные числа, в записи которых есть только цифры 2, 6, 8. Отличник Петя утверждает, что в любом числе на доске он может стереть несколько цифр так, что оставшееся натуральное число будет делиться на 74. Прав ли он? Объясните свой ответ

Answer 1

Ответ:

Да

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим произвольное семизначное число составленное из трёх различных чётных цифр A, B, C.

Так как данное число семизначное, то одна из трёх цифр A, B и C встречается в записи этого числа не менее чем три раза. Пусть для определённости это будет цифра A. Стерев остальные четыре цифры Петя может получить трёхзначное число AAA.

AAA=A·37·3

Значит число AAA делится на 37.

A-чётная цифра. Значит число AAA делится на 2  А так как НОД(2, 37)=1, то число AAA делится на произведение чисел 2 и 37 равное 74

Answer 2

Для того чтобы понять, прав ли Петя, нужно рассмотреть, какие семизначные числа можно получить, составляя их из цифр 2, 6 и 8.

Семизначные числа, составленные из цифр 2, 6 и 8, можно представить в виде 7-значных чисел, так как нули в начале числа не влияют на его деление. Таким образом, у нас есть 3^7 (или 2187) возможных комбинаций семизначных чисел, составленных только из цифр 2, 6 и 8.

Теперь давайте проверим, можно ли стереть цифры из таких чисел так, чтобы оставшееся число делилось на 74.

Чтобы число делилось на 74, оно должно быть кратным и 2, и 37. Рассмотрим оба эти условия:

1. Кратность 2: Все числа, составленные только из цифр 2, 6 и 8, будут кратны 2, так как они либо заканчиваются на 2, либо на 6, что является четным числом.

2. Кратность 37: Чтобы число было кратным 37, сумма его цифр должна быть кратной 37. Однако, сумма цифр 2, 6 и 8 равна 16, что не является кратным 37. Это означает, что нельзя составить семизначное число из цифр 2, 6 и 8, которое было бы кратным 37.

Следовательно, Петя неправильно утверждает, что он может стереть несколько цифр из любого числа на доске так, чтобы оставшееся натуральное число делится на 74. Нет семизначного числа, составленного только из цифр 2, 6 и 8, которое было бы кратным 37, и, следовательно, нельзя получить такое число путем стирания цифр из имеющихся.