Question

Доказать неравенство (2а-5)(2а+5)-(3а-2) ² ≤ (4а-9)-2

Answer 1

Ответ:

х ∈ R

Объяснение:

(2а-5)(2а+5)-(3а-2)² ≤ (4а-9)-2

4а²-25-(9а²-12а+4) ≤ 4а-9-2

4а²-25-9а²+12а-4-4а+11 ≤ 0

-5а²+8а-18 ≤ 0 | *(-1)

5а²-8а+18 ≥ 0

Для нахождения корней,приравняем левую часть к нулю

5а²-8а+18 = 0

D = (-8)²-4*5*18 = 64-360<0

Т.к. дискриминант меньше нуля,то выражение при любом а будет положительным.

Answer 2

Давайте разберемся с данным неравенством поэтапно и попробуем его доказать.

Исходное неравенство: (2a - 5)(2a + 5) - (3a - 2)^2 ≤ (4a - 9) - 2

Шаг 1: Умножение множителей в левой части неравенства (2a - 5)(2a + 5) = 4a^2 - 25

Теперь неравенство выглядит следующим образом: 4a^2 - 25 - (3a - 2)^2 ≤ (4a - 9) - 2

Шаг 2: Возводим (3a - 2) в квадрат (3a - 2)^2 = 9a^2 - 12a + 4

Теперь неравенство выглядит так: 4a^2 - 25 - (9a^2 - 12a + 4) ≤ (4a - 9) - 2

Шаг 3: Раскрываем скобки в правой части неравенства 4a^2 - 25 - 9a^2 + 12a - 4 ≤ 4a - 9 - 2

Теперь неравенство имеет вид: -5a^2 + 12a - 29 ≤ 4a - 11

Шаг 4: Переносим все члены на одну сторону неравенства, чтобы привести его к стандартному виду: -5a^2 + 12a - 4a - 29 + 11 ≤ 0

Упрощаем: -5a^2 + 8a - 18 ≤ 0

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Чтобы его решить, давайте найдем его корни (точки, в которых неравенство меняет знак) и определим интервалы, в которых оно выполняется.

Сначала найдем корни уравнения -5a^2 + 8a - 18 = 0. Мы можем использовать квадратное уравнение:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = -5, b = 8 и c = -18. Подставим значения:

a = (-8 ± √(8^2 - 4 * (-5) * (-18))) / (2 * (-5))

a = (-8 ± √(64 - 360)) / (-10)

a = (-8 ± √(-296)) / (-10)

Поскольку подкоренное выражение отрицательное (-296), у нас нет действительных корней. Это означает, что квадратное уравнение -5a^2 + 8a - 18 = 0 не имеет решений, и оно не пересекает ось a.

Теперь давайте определим знак -5a^2 + 8a - 18 на интервалах. Нам известно, что уравнение не имеет корней, поэтому оно либо положительное, либо отрицательное на всех значениях a. Мы видим, что коэффициент при a^2 (в данном случае -5) отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Это означает, что неравенство -5a^2 + 8a - 18 ≤ 0 выполняется для всех значений a. Исходное неравенство верно.

Итак, неравенство (2a - 5)(2a + 5) - (3a - 2)^2 ≤ (4a - 9) - 2 выполняется для всех значений переменной a.