Question

1 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на заданном промежутке: 1) y = x4 - 8x2 – 9, [-1; 3]; 2)y=2+3x2-5x3, [2;3] 4) у = 1/2 + x, [0;5;4]

Answer 1

y = x4 – 8x2 + 5

1.Найдем точки экстремума функции, т.е. точки, в которых y’ = 0:

y’ = (x4 – 8x2 + 5)’ = 4x3 – 16x.

4x3 – 16x = 0;

4х (х2 – 4) = 0;

4х (х – 2) (х + 2) = 0;

х1 = 0;

х2 = -2;

х3 = 2.

2. Промежутку [-3; 2] принадлежат все найденные точки, поэтому рассмотрим значение функции на концах отрезка и в точках экстремума.

При х = -3, у = 81 – 72 + 5 = 14.

При х = -2, у = 16 – 32 + 5 = -11.

При х = -0, у = 5.

При х = 2, у = 16 – 32 + 5 = -11.

Таким образом, yнаим = у(-2) = у(2) = -11, yнаиб = у(-3) = 14.

Ответ: yнаим = -11, yнаиб = 14

Answer 2

Ваш вопрос связан с поиском наибольшего и наименьшего значений функций на заданных промежутках. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1) y = x^4 - 8x^2 – 9, [-1; 3]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на данном промежутке, мы должны найти критические точки и значения функции на концах промежутка.

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю или не существует: y' = 4x^3 - 16x = 0 Факторизуем это уравнение: 4x(x^2 - 4) = 0 Получаем два значения x: x = 0 и x = ±2. Подставим эти значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y: y(0) = 0^4 - 8 * 0^2 - 9 = -9 y(2) = 2^4 - 8 * 2^2 - 9 = 7 y(-2) = (-2)^4 - 8 * (-2)^2 - 9 = 15 Таким образом, у нас есть три критические точки: (-2, 15), (0, -9) и (2, 7).

2. Теперь найдем значения функции на концах промежутка: y(-1) = (-1)^4 - 8 * (-1)^2 - 9 = -1 - 8 - 9 = -18 y(3) = 3^4 - 8 * 3^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке [-1, 3] равны: Наибольшее значение: (2, 7) Наименьшее значение: (-1, -18)

2) y = 2 + 3x^2 - 5x^3, [2; 3]

Для этой функции также применим тот же подход.

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю или не существует: y' = 6x - 15x^2 = 0 Факторизуем это уравнение: 3x(2 - 5x) = 0 Получаем два значения x: x = 0 и x = 2/5. Подставим эти значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y: y(0) = 2 + 3 * 0^2 - 5 * 0^3 = 2 y(2/5) = 2 + 3 * (2/5)^2 - 5 * (2/5)^3 ≈ 2.056 Таким образом, у нас есть две критические точки: (0, 2) и (2/5, 2.056).

2. Теперь найдем значения функции на концах промежутка: y(2) = 2 + 3 * 2^2 - 5 * 2^3 = 2 + 12 - 40 = -26 y(3) = 2 + 3 * 3^2 - 5 * 3^3 = 2 + 27 - 135 = -106

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке [2, 3] равны: Наибольшее значение: (2/5, 2.056) Наименьшее значение: (3, -106)

3) y = 1/2 + x, [0; 5/4]

Для этой функции промежуток задан в виде [0, 5/4], что является интервалом. Так как функция y = 1/2 + x - это линейная функция, то она будет возрастать на всем интервале [0, 5/4]. Таким образом, наименьшее значение функции будет в точке x = 0, а наибольшее значение будет в точке x = 5/4.

Наименьшее значение: (0, 1/2) Наибольшее значение: (5/4, 3/4)

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.