Question

Решите неравенство |х-1|+|х+4|<4

Answer 1

|х-1|+|х+4|<4

раскрытие модулей

               |x - 1|       |x + 4|

x < -4        1 - x        -x - 4

1>=x>=-4   1 - x        x + 4

x > 1           x - 1       x + 4

1. x < -4    

1 - x - x - 4 < 4

2x > -7

x > -3.5

x ∈ ∅

2. 1>=x>=-4

1 - x + x + 4 < -4

5 < -4

x ∈ ∅

3. x > 1

x - 1 + x + 4 < 4

2x < 1

x < 0.5

x ∈ ∅

решений нет

       

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство:

|х - 1| + |х + 4| < 4

Чтобы решить это неравенство, давайте разберемся с каждым модулем по отдельности.

1. Рассмотрим модуль |х - 1|: Если (х - 1) ≥ 0, то |х - 1| = (х - 1). Если (х - 1) < 0, то |х - 1| = -(х - 1) = 1 - х.

2. Рассмотрим модуль |х + 4|: Если (х + 4) ≥ 0, то |х + 4| = (х + 4). Если (х + 4) < 0, то |х + 4| = -(х + 4) = -x - 4.

Теперь давайте рассмотрим четыре возможных случая:

A. (х - 1) ≥ 0 и (х + 4) ≥ 0: В этом случае оба модуля равны сами себе, и неравенство принимает следующий вид: (х - 1) + (х + 4) < 4 2х + 3 < 4

Теперь выразим x: 2х < 4 - 3 2х < 1 x < 1/2

B. (х - 1) ≥ 0 и (х + 4) < 0: В этом случае первый модуль равен (х - 1), а второй модуль равен -(х + 4). Неравенство принимает следующий вид: (х - 1) - (х + 4) < 4 (х - 1) - (х + 4) < 4 (х - 1 + x + 4) < 4 5 < 4

Этот случай не имеет решений, так как 5 никогда не будет меньше 4.

C. (х - 1) < 0 и (х + 4) ≥ 0: В этом случае первый модуль равен 1 - х, а второй модуль равен (х + 4). Неравенство принимает следующий вид: (1 - х) + (х + 4) < 4 (1 - х) + (х + 4) < 4 (1 - х + х + 4) < 4 (5) < 4

Этот случай также не имеет решений, так как 5 не может быть меньше 4.

D. (х - 1) < 0 и (х + 4) < 0: В этом случае оба модуля равны своим абсолютным значениям, и неравенство принимает следующий вид: -(х - 1) - (х + 4) < 4 -х + 1 - х - 4 < 4 -2х - 3 < 4

Теперь выразим x: -2х < 4 + 3 -2х < 7 x > 7/(-2) x > -7/2

Итак, у нас есть два набора решений: 1. Для случая A: x < 1/2 2. Для случая D: x > -7/2

Объединяя эти два набора решений, мы получаем окончательное решение для неравенства:

x < 1/2 или x > -7/2