Question

Ab+4≥4√ab. если a≥0, b≥0 доказать неравенство

Answer 1

Ответ:

$\boxed{(ab - 4)^{2} \geq 0}$

Объяснение:

$a \geq 0, b\geq 0$

$ab + 4 \geq 4\sqrt{ab}$

$(ab + 4)^{2} \geq (4\sqrt{ab})^{2}$

$a^{2} b^{2} + 8ab + 16 \geq 16ab$

$a^{2} b^{2} - 8ab + 16 \geq 0$

$(ab - 4)^{2} \geq 0$

Answer 2

Для доказательства неравенства a^4 ≥ 4√(ab) при условии a ≥ 0 и b ≥ 0, мы можем использовать метод математического рассуждения и алгебры.

Рассуждение:

Поскольку a и b неотрицательные числа, мы можем возвести обе части неравенства в четвертую степень:

(a^4) ≥ (4√(ab))^4

Применим свойство степени корня: (√x)^n = x^(n/2)

(a^4) ≥ (4(ab)^(1/2))^4

(a^4) ≥ (4^4) * (ab)^(4/2)

(a^4) ≥ 256 * (ab)^2

Теперь мы можем упростить полученное выражение:

(a^4) ≥ 256ab^2

Доказательство:

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться свойством неотрицательности и алгеброй. Рассмотрим два случая:

Случай 1: a = 0 или b = 0 Если a = 0 или b = 0, то левая часть неравенства равна 0, а правая часть равна 0, так как 256 * 0^2 = 0. Таким образом, неравенство выполняется.

Случай 2: a ≠ 0 и b ≠ 0 Для данного случая, мы можем разделить обе части неравенства на a^4 (поскольку a ≠ 0):

1 ≥ (256ab^2) / (a^4)

Так как a ≠ 0 и b ≠ 0, то мы можем сократить a^4 в числителе и знаменателе:

1 ≥ 256b^2 / a^2

Теперь мы знаем, что a ≥ 0 и b ≥ 0, поэтому b^2 и a^2 также неотрицательные числа. Мы можем упростить это неравенство:

1 ≥ 256b^2 / a^2 ≥ 0

Так как 1 ≥ 0, неравенство выполняется.

Вывод:

Мы доказали, что неравенство a^4 ≥ 4√(ab) выполняется при условии a ≥ 0 и b ≥ 0.