Question

Помогите пожалуйста: Нужно разложить на множители многочлен (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)-24 (Тема: корни многочлена).

Answer 1

Ответ:

Способ группировки .

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24=\\\\=\Big((x+1)(x+4)\Big)\Big(x+2)(x+3)\Big)-24=\\\\=\Big(\underbrace{x^2+5x}+4\Big)\Big(\underbrace{x^2+5x}+6\Big)-24=\\\\=\Big((x^2+5x)+4\Big)\Big((x^2+5x)+6\Big)-24=\\\\=\Big(x^2+5x\Big)^2+6\Big(x^2+5x\Big)+4\Big(x^2+5x\Big)+24-24=\\\\=\Big(x^2+5x\Big)^2+10\Big(x^2+5x\Big)=\\\\=\Big(x^2+5x\Big)\Big((x^2+5x)+10\Big)=x\Big(x+5\Big)\Big(x^2+5x+10\Big)$

$x(x+5)(\underbrace{x^2+5x+10}_{D$

Answer 2

Для начала, раскроем скобки:

(х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = (х^2 + 3х + 2х + 6)(х^2 + 7х + 12) = (х^2 + 5х + 6)(х^2 + 7х + 12)

Теперь у нас есть многочлен (х^2 + 5х + 6)(х^2 + 7х + 12) - 24.

Чтобы разложить его на множители, нам необходимо найти корни этого многочлена. Для этого можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, в нашем случае a = 1, b = 5 и c = 6.

Решим сначала квадратное уравнение х^2 + 5х + 6 = 0:

x = (-5 ± √(5^2 - 4*1*6)) / (2*1) x = (-5 ± √(25 - 24)) / 2 x = (-5 ± √1) / 2

Получаем два корня: x₁ = (-5 + 1) / 2 = -2 и x₂ = (-5 - 1) / 2 = -3.

Теперь найдем корни для квадратного уравнения х^2 + 7х + 12 = 0:

x = (-7 ± √(7^2 - 4*1*12)) / (2*1) x = (-7 ± √(49 - 48)) / 2 x = (-7 ± √1) / 2

Получаем два корня: x₃ = (-7 + 1) / 2 = -3 и x₄ = (-7 - 1) / 2 = -4.

Из этих корней можно составить множители нашего исходного многочлена:

(х + 2)(х + 3)(х + 3)(х + 4)

Теперь осталось только проверить, равен ли наш исходный многочлен полученному разложению:

(х + 2)(х + 3)(х + 3)(х + 4) = (х^2 + 5х + 6)(х^2 + 7х + 12)

Можно заметить, что оба выражения дают один и тот же результат, следовательно, мы правильно разложили исходный многочлен на множители.

Итак, исходный многочлен разложен на множители: (х + 2)(х + 3)(х + 3)(х + 4).