Question

44. Не строя график, определите, при каком значении х квадратичная функция имеет наибольшее (наименьшее) значение; найдите это значение: 1) у = х2 – 6х + 13; 2) у = х2 – 2x – 4; 3) у = -х? + 4х + 3; 4) у = 3х2 – 6х + 1.

Answer 1

Теория:

Для многочлена ax²+bx+c точка экстремума (если а>0, то это точка минимума, в противном случае — максимума) находится по следующей формуле:

$x_0 = \frac{ - b}{2a}$

Произведя вычисление по этой формуле получим следующие результаты:

1)

$x_0 = 3$

2)

$x_0 = 1$

3)

$x_0 = 2$

4)

$x_0 = -1$

Примечание: Значение функции в точке x_0 можно найти 2 способами:

1. Подставив его в исходную функцию:

$y_0 = f(x_0)$

2) По формуле:

$y_0 = \frac{4ac - {b}^{2} }{4a}$

Примечание 2: x_0 также можно найти через нули квадратичной функции по следующей формуле:

$x_0 = \frac{x_1 +x_2}{2}$

Пара (x_0; y_0) — координаты вершины параболы

Answer 2

Для нахождения значения x, при котором квадратичная функция имеет наибольшее или наименьшее значение, можно воспользоваться формулой вершины параболы:

Для квадратной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, вершина параболы находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$.

1. Для $y = x^2 - 6x + 13$: $a = 1, b = -6, c = 13$ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \times 1} = 3$ Значение x: 3.

2. Для $y = x^2 - 2x - 4$: $a = 1, b = -2, c = -4$ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1$ Значение x: 1.

3. Для $y = -x^2 + 4x + 3$: $a = -1, b = 4, c = 3$ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times -1} = 1$ Значение x: 1.

4. Для $y = 3x^2 - 6x + 1$: $a = 3, b = -6, c = 1$ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \times 3} = 1$ Значение x: 1.

Таким образом, для всех указанных квадратичных функций значение x, при котором функция имеет наибольшее (наименьшее) значение, равно 1.