Question

Докажите что функция y=√x возрастает на всей области определения

Answer 1

Функция возрастает там, где её первая производная больше нуля.

Найдём производную:

$y = \sqrt{x} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} {x}^{ - \frac{1}{2} } = \frac{1}{2} \times \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

Значение под корнем не может быть меньше нуля, и на нуль делить нельзя, значит, и х всюду больше нуля, и значение производной dy/dx всюду больше нуля, т.е. положительное.

Значит, функция у = √х всюду возрастает.

Answer 2

Чтобы доказать, что функция $y = \sqrt{x}$ возрастает на всей области определения, мы можем воспользоваться определением возрастающей функции. Функция $f(x)$ называется возрастающей на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) \leq f(x_2)$.

У нас есть функция $y = \sqrt{x}$, и мы хотим проверить, что она возрастает на всей области определения. Предположим, что у нас есть две точки $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Мы хотим сравнить значения функции в этих точках:

$f(x_1) = \sqrt{x_1}$ $f(x_2) = \sqrt{x_2}$

Теперь давайте рассмотрим неравенство:

$\sqrt{x_1} \leq \sqrt{x_2}$

Для доказательства этого неравенства, возведем обе стороны в квадрат:

$x_1 \leq x_2$

Это неравенство верно, так как мы предположили, что $x_1 < x_2$. Таким образом, мы доказали, что если $x_1 < x_2$, то $\sqrt{x_1} \leq \sqrt{x_2}$, что означает, что функция $y = \sqrt{x}$ возрастает на всей области определения.