Question

Доведіть, що при будь-якому n ∈ ℕ значення виразу 3 ⋅ 4^n + 5 ⋅ 6^2n кратне 8 ​

Answer 1

3*4^n+5*6^2n кратно 8

разделим на 8

(3*4^n+5*6^2n)/8=4²(3*4^(n-2) + 5*3^(2n) * 2^(2n-4))/8=2(3*4^(n-2) + 5*3^(2n) * 2^(2n-4))

можно упростить и дальше но этого хватит

в общем представили 6^2n как (3*2)^2n=3^2n * 2^2n и дальше просто вынесли множитель,который кратный 8,при n=0 1 2 можно подставить и убедиться что никаких исключений тоже нет

Answer 2

Щоб довести, що значення виразу 3⋅4^n + 5⋅6^2n кратне 8 для будь-якого n ∈ ℕ, ми можемо використати індукцію.

Базовий випадок: При n = 0 вираз набуває значення 3⋅4^0 + 5⋅6^2⋅0 = 3 + 5⋅1 = 8, що є кратним 8.

Крок індукції: Припустимо, що для певного n значення виразу є кратним 8, тобто 3⋅4^n + 5⋅6^2n = 8k для деякого цілого числа k.

Нам треба довести, що значення виразу для n + 1 також буде кратним 8. Для цього ми можемо розглянути вираз при n + 1:

3⋅4^(n+1) + 5⋅6^2(n+1) = 3⋅4⋅4^n + 5⋅6^2⋅6^2n = 12⋅4^n + 5⋅(36)⋅(6^2n)

За припущенням, 12⋅4^n ділиться на 8, тому ми можемо записати його як 8m (де m = 3⋅4^n). Аналогічно, за припущенням 5⋅(36)⋅(6^2n) ділиться на 8 і може бути записане як 8p (де p = 5⋅(36)⋅(6^2n)). Тоді вираз можна записати як 8m + 8p = 8(m + p).

Отже, ми довели, що значення виразу 3⋅4^n + 5⋅6^2n є кратним 8 для будь-якого n ∈ ℕ.