Question

Решить уравнение: √х⁶=-х

Answer 1

При извлечении корня чётной степени, подкоренное выражение выходит по модулю:

$| {x}^{3} | = - x$

Рассмотрим два случая:

1)

${x}^{3} + x = 0 \\ x \geqslant 0$

$x( {x}^{2} + 1) = 0 \\ x \geqslant 0$

$x = 0$

2)

$- {x}^{3} + x = 0 \\ x < 0$

$- x( {x}^{2} - 1) = 0 \\ x < 0$

$- x(x - 1)(x + 1) = 0$

$x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \\ x < 0$

то есть:

$x = - 1$

В поле действительных чисел, исходное уравнение имеет 2 корня:

$x_1 = 0 \\ x_2 = - 1$

Answer 2

Конечно, начнём с решения уравнения √(x⁶) = -x+.

Для начала возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

√(x⁶) = -x

Квадрат обеих сторон:

(x⁶) = (-x)² x⁶ = x²

Чтобы решить это уравнение, приведём все члены к одной степени:

x⁶ = x²

Теперь выразим уравнение в виде x в одной степени:

x⁶ - x² = 0

Используем факторизацию, чтобы выделить x²:

x²(x⁴ - 1) = 0

Далее, разложим разность квадратов в скобке:

x²(x² + 1)(x² - 1) = 0

Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. x² = 0

Отсюда получаем два решения: x = 0.

2. x² + 1 = 0 Это уравнение не имеет реальных корней, так как квадрат любого реального числа всегда положителен.

3. x² - 1 = 0 Решая это уравнение, получаем x = 1 и x = -1.

Итак, уравнение x⁶ = x² имеет три решения: x = 0, x = 1, и x = -1.