Question

В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины

Answer 1

Ответ:

Всего все возможных выбора человек: C^7_{10}= \dfrac{10!}{7!3!}= \dfrac{8\cdot9\cdot10}{6} =120C107=7!3!10!=68⋅9⋅10=120

Всего благоприятных событий выбора 4-х мужчин и 3-х женщин: C^4_6C^3_4=4\cdot \dfrac{6!}{2!3!} =2\cdot4\cdot5\cdot6=240C64C43=4⋅2!3!6!=2⋅4⋅5⋅6=240

Искомая вероятность: P= \dfrac{120}{240}=0.5P=240120=0.5

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и вероятность.

Общее количество способов выбрать 7 человек из 10 равно \({10 \choose 7}\) (читается как "10 по 7"), что равно \(\frac{10!}{7! \cdot 3!}\).

Теперь давайте рассмотрим, сколько из этих способов включают в себя ровно 3 женщин. В цехе 4 женщины, поэтому количество способов выбрать 3 женщины из 4 равно \({4 \choose 3}\) (читается как "4 по 3"), что равно \(\frac{4!}{3! \cdot 1!}\).

Также нам нужно выбрать 4 мужчин из 6, что равно \({6 \choose 4}\) (читается как "6 по 4"), что равно \(\frac{6!}{4! \cdot 2!}\).

Таким образом, количество способов выбрать 7 человек так, чтобы среди них было ровно 3 женщины, равно \({4 \choose 3} \cdot {6 \choose 4}\).

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины:

\[ P = \frac{{\text{{Количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{Общее количество исходов}}}} \]

\[ P = \frac{{\text{{Количество благоприятных исходов}}}}{{{10 \choose 7}}} \]

\[ P = \frac{{ {4 \choose 3} \cdot {6 \choose 4} }}{{ {10 \choose 7} }} \]

Подставим значения и вычислим:

\[ P = \frac{{ \frac{4!}{3! \cdot 1!} \cdot \frac{6!}{4! \cdot 2!} }}{{ \frac{10!}{7! \cdot 3!} }} \]

\[ P = \frac{{ \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{1} \cdot \frac{5 \cdot 6}{1 \cdot 2} }}{{ \frac{8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} }} \]

\[ P = \frac{{ 1200 }}{{ 120 \cdot 84 }} \]

\[ P = \frac{{ 1200 }}{{ 10080 }} \]

\[ P = \frac{{ 1 }}{{ 8.4 }} \]

\[ P \approx 0.119 \]

Таким образом, вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины, составляет примерно 0.119 или 11.9%.