Question

Sin^4альфа-sin^альфа+cos^2 альфа=cos^4альфаПомогите пожалуйста доказать​

Answer 1

$sin^4\alpha-sin^2\alpha+cos^2\alpha=cos^4\alpha\\\\sin^4\alpha-sin^2\alpha+cos^2\alpha=-sin^2\alpha(-sin^2\alpha+1)+cos^2\alpha=\\\\-sin^2\alpha cos^2\alpha+cos^2\alpha=cos^2\alpha(-sin^2\alpha+1)=\\\\cos^2\alpha\cdot cos^2\alpha=cos^4\alpha$

Answer 2

Давайте рассмотрим левую и правую части уравнения и посмотрим, как они могут быть преобразованы.

У нас есть уравнение: \[ \sin^4(\alpha) - \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = \cos^4(\alpha) \]

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы преобразовать выражения:

1. Заметим, что \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\).

Подставим это в уравнение: \[ \sin^4(\alpha) - \sin^2(\alpha) + (1 - \sin^2(\alpha)) = \cos^4(\alpha) \]

2. Теперь раскроем скобки: \[ \sin^4(\alpha) - \sin^2(\alpha) + 1 - \sin^2(\alpha) = \cos^4(\alpha) \]

3. Объединим похожие члены: \[ \sin^4(\alpha) - 2\sin^2(\alpha) + 1 = \cos^4(\alpha) \]

4. Теперь воспользуемся тождеством \( \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) \), чтобы выразить \(\cos^4(\alpha)\): \[ \sin^4(\alpha) - 2\sin^2(\alpha) + 1 = (1 - \sin^2(\alpha))^2 \]

5. Раскроем квадрат: \[ \sin^4(\alpha) - 2\sin^2(\alpha) + 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha) + \sin^4(\alpha) \]

Таким образом, левая и правая части уравнения совпадают: \[ \sin^4(\alpha) - 2\sin^2(\alpha) + 1 = \sin^4(\alpha) - 2\sin^2(\alpha) + 1 \]

Уравнение верно для любого угла \(\alpha\).