Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) у = 7х – 2 на промежутке [–2; 3];2) у = х2 – 2х – 3 на промежутке [–1; 2].Исследуйте на чётность функцию:1) у = x4 – 2х2 + 3; 2) у = х5 – 3х3 + 2; 3) у = 2x/(5 – x6);   4) у = (x + 2)/(x2 + 2x).​

Answer 1

Объяснение:

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) у=7х-2 на промежутке [-2;3]

- линейная функция, график - прямая. Точек экстремумов нет.

Найдем значение функции на концах промежутка:

у(-2)=7·(-2)-2=-16

у(3)=7·3-2=19

⇒ у наим. = -16

   y наиб. = 19

2) у=х²-2х-3  на промежутке [–1; 2].

-квадратичная функция, график - парабола, ветви вверх.

Найдем значение функции на концах промежутка:

у(-1)=1+2-3=0

у(2)=4-4-3=-3

Найдем координату вершины параболы:

$\displaystyle x_B=-\frac{-2}{2} =1$

Координата принадлежит данному промежутку. Найдем значение функции в этой точке:

у(1)=1-2-3=-4

Имеем:

у(-1)=0;   у(2)=-3;   у(1)=-4

⇒ у наим.=у(1)=-4;    у наиб.=у(-1)=0

2. Исследовать на чётность функцию

• Если у(-х)=у(х) - функция четная, если у(-х)=-у(х) - нечетная.

1)

$\displaystyle y=x^4-2x^2+3\\y(-x)=(-x)^4-2(-x)^2+3=x^4-2x^2+3$

у(-х)=у(х) ⇒ функция четная.

2)

$\displaystyle y=x^5-3x^3+2\\y(-x)=(-x)^5-3(-x)^3+2=-x^5+3x^3+2$

y(-x)≠y(x)≠-y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3)

$\displaystyle y=\frac{2x}{5-x^6}\\\\y(-x)=\frac{2*(-x)}{5-(-x)^6}=-\frac{2x}{5-x^6}$

y(-x)=-y(x) ⇒ функция четная.

4)

$\displaystyle y=\frac{x+2}{x^2+2x}\\\\y(-x)=\frac{-x+2}{(-x)^2+2(-x)} =\frac{-x+2}{x^2-2x}$

y(-x)≠y(x)≠-y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

Answer 2

Задача 1: Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 7x – 2 на промежутке [–2; 3]

Для решения данной задачи необходимо найти экстремумы функции, то есть точки, в которых она достигает наибольших и наименьших значений.

1. Найдем производную функции y = 7x – 2: y' = 7.

2. Решим уравнение y' = 0: 7 = 0.

Уравнение не имеет решений, значит, функция не имеет локальных экстремумов на заданном промежутке.

3. Проверим значения функции на границах промежутка: При x = -2: y = 7*(-2) - 2 = -16. При x = 3: y = 7*3 - 2 = 19.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -16 и достигается при x = -2, а наибольшее значение функции равно 19 и достигается при x = 3.

Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x^2 – 2x – 3 на промежутке [–1; 2]

1. Найдем производную функции y = x^2 – 2x – 3: y' = 2x - 2.

2. Решим уравнение y' = 0: 2x - 2 = 0. 2x = 2. x = 1.

Найденная точка x = 1 является единственным кандидатом на экстремум.

3. Проверим значения функции на границах промежутка и в найденной точке: При x = -1: y = (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 0. При x = 2: y = 2^2 - 2(2) - 3 = -3. При x = 1: y = 1^2 - 2(1) - 3 = -4.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -4 и достигается при x = 1, а наибольшее значение функции равно 0 и достигается при x = -1.

Исследование на четность функции

Для исследования функции на четность необходимо проверить, является ли она симметричной относительно оси ординат (y) или оси абсцисс (x).

1. Функция y = x^4 – 2x^2 + 3: - Проверим симметрию функции относительно оси ординат: заменим x на -x и сравним значения функции. При x = -x: y = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3. Значение функции не меняется при замене x на -x, следовательно, функция является четной.

2. Функция y = x^5 – 3x^3 + 2: - Проверим симметрию функции относительно оси ординат: заменим x на -x и сравним значения функции. При x = -x: y = (-x)^5 - 3(-x)^3 + 2 = -x^5 + 3x^3 + 2. Значение функции меняется при замене x на -x, следовательно, функция не является четной.

3. Функция y = 2x/(5 - x^6): - Проверим симметрию функции относительно оси ординат: заменим x на -x и сравним значения функции. При x = -x: y = 2(-x)/(5 - (-x)^6) = -2x/(5 - x^6). Значение функции меняется при замене x на -x, следовательно, функция не является четной.

4. Функция y = (x + 2)/(x^2 + 2x): - Проверим симметрию функции относительно оси ординат: заменим x на -x и сравним значения функции. При x = -x: y = (-x + 2)/((-x)^2 + 2(-x)) = (2 - x)/(x^2 - 2x). Значение функции меняется при замене x на -x, следовательно, функция не является четной.

Таким образом, функция y = x^4 – 2x^2 + 3 является четной, а остальные функции не являются четными.