Question

Вычислите интегрирование от 0 до 2 (x+|x-1|)dx​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits^2_0\, (x+|x-1|)\, dx=\Big[\ x-1\geq 0\ ,\ x\geq 1\ \ \Rightarrow \ \ |x-1|=x-1\ ;\\\\ x-1\leq 0\ ,\ x\leq 1\ \ \Rightarrow \ \ |x-1|=-(x-1)=-x+1\ \ \Big]=\\\\=\int\limits^1_0\, (x-x+1)\, dx+\int\limits^2_1\, (x+x-1)\, dx=\int\limits^1_0\, dx+\int\limits^2_1\, (2x-1)dx=\\\\\\=x\Big|_0^1+\dfrac{(2x-1)^2}{2\cdot 2}\Big|_1^2=(1-0)+\dfrac{1}{4}\cdot (3^2-1^2)=1+\dfrac{1}{4}\cdot 8=1+2=3$

Answer 2

Интегрируем функцию (x+|x-1|)dx от 0 до 2.

Сначала разобьем интеграл на две части: 1. Интеграл от 0 до 1: (x+|x-1|)dx 2. Интеграл от 1 до 2: (x+|x-1|)dx

1. Интеграл от 0 до 1: Для x от 0 до 1, |x-1| = 1-x Тогда интеграл принимает вид: ∫(x+1-x)dx = ∫1dx = x | от 0 до 1 Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: 1-0 = 1

2. Интеграл от 1 до 2: Для x от 1 до 2, |x-1| = x-1 Тогда интеграл принимает вид: ∫(x+x-1)dx = ∫(2x-1)dx = x^2-x | от 1 до 2 Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: (2^2-2) - (1^2-1) = 4-2 - 1+1 = 2 - 1 = 1

Теперь складываем результаты двух интегралов: 1 + 1 = 2

Итак, интеграл от (x+|x-1|)dx от 0 до 2 равен 2.