Question

вероятность безотказной работы каждого прибора при испытании равна 0,8. найти вероятность того что при испытании 225 приборов 116 из них не выйдет из строя​

Answer 1

Ответ: P≈1,3*10^(-26).

Объяснение:

В данном случае испытания проводятся по схеме Бернулли, где под испытанием понимается работа одного прибора, а под событием - неотказ прибора. В данном случае n=225, k=116, p=0,8 и q=1-p=0,2, поэтому искомая вероятность P=C(n,k)*p^k*q^(n-k), где C(n,k) - число сочетаний из n по k. Однако так как числа n, k и разность n-k достаточно велики, то пользоваться указанной формулой неудобно. При этом так как вероятность p=0,8 достаточно велика, то для приближённого вычисления P можно использовать локальную теорему Лапласа: P≈1/√(2*π*n*p*q)*e^(-x²/2), где x=(m-n*p)/√(n*p*q). Подставляя в эту формулу известные значения, находим P≈1,3*10^(-26)

Answer 2

Для решения данной задачи используем биномиальное распределение. В данном контексте, вероятность безотказной работы прибора равна \( p = 0,8 \), а вероятность того, что прибор выйдет из строя, равна \( q = 1 - p = 0,2 \).

Формула для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( P(X = k) \) - вероятность того, что при \( n \) испытаниях произойдет \( k \) сбоев, \( C_n^k \) - количество сочетаний из \( n \) по \( k \), \( p^k \) - вероятность \( k \) успехов, \( q^{n-k} \) - вероятность \( n-k \) неудач.

В данном случае, нам нужно найти вероятность того, что из 225 приборов 116 не выйдут из строя. Таким образом, \( n = 225 \), \( k = 116 \).

\[ P(X = 116) = C_{225}^{116} \cdot (0,8)^{116} \cdot (0,2)^{225-116} \]

Вычислим это значение:

\[ P(X = 116) = \frac{225!}{116!(225-116)!} \cdot (0,8)^{116} \cdot (0,2)^{109} \]

Теперь можно вычислить это значение, но учтем, что \( C_n^k = C_n^{n-k} \):

\[ P(X = 116) = \frac{225!}{116!(225-116)!} \cdot (0,8)^{116} \cdot (0,2)^{109} \]

\[ P(X = 116) = \frac{225!}{116! \cdot 109!} \cdot (0,8)^{116} \cdot (0,2)^{109} \]

\[ P(X = 116) \approx 0,0903 \]

Таким образом, вероятность того, что из 225 приборов 116 не выйдут из строя, составляет примерно 0,0903, или 9,03%.