Question

2=(5m+7n+3)^6*(3m+9n+2)^2 доказать что делиться на 32

Answer 1

Ответ:

ответ 16 вроде бы но я пощитал на калькуляторе вышло 16

Answer 2

Давайте посмотрим на выражение \(2=(5m+7n+3)^6 \cdot (3m+9n+2)^2\) более внимательно.

Мы можем воспользоваться биномиальной теоремой, которая гласит, что \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_k^n a^{n-k}b^k\), где \(C_k^n\) - биномиальные коэффициенты.

В данном случае, у нас есть два множителя, каждый возводится в степень. Применим биномиальную теорему к обоим множителям:

\[(5m+7n+3)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_k^6 (5m)^{6-k}(7n)^k(3)^k\]

и

\[(3m+9n+2)^2 = \sum_{k=0}^{2} C_k^2 (3m)^{2-k}(9n)^k(2)^k\]

Теперь умножим оба выражения:

\[2 = \left(\sum_{k=0}^{6} C_k^6 (5m)^{6-k}(7n)^k(3)^k\right) \cdot \left(\sum_{k=0}^{2} C_k^2 (3m)^{2-k}(9n)^k(2)^k\right)\]

Теперь наша задача — показать, что это выражение делится на 32. Мы видим, что каждый член произведения содержит множитель 2. Таким образом, каждый член этой суммы делится на 2 в степени, не меньшей 6, так как есть 6 множителей (2 в 6-й степени). Также каждый член делится на 2 в степени, не меньшей 2. Таким образом, вся сумма делится на 2 в степени, не меньшей 8.

Поскольку 8 меньше 32, мы можем утверждать, что весь коэффициент перед суммой делится на 32. Таким образом, выражение \(2=(5m+7n+3)^6 \cdot (3m+9n+2)^2\) делится на 32.