Question

Y=x²+4x+3 построить график функции и описать свойства

Answer 1

Ответ:

Направление: направлено вверх

Вершина:

(

2

,

−

7

)

Фокус:

(

2

,

−

27

4

)

.

Ось симметрии:

x

=

2

Направляющая:

y

=

−

29

4

Выберем несколько значений

x

и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

y

. Значения

x

должны выбираться близко к вершине.

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с функцией \(Y = x^2 + 4x + 3\). Для начала, построим её график и затем опишем основные свойства.

Построение графика:

Для построения графика функции \(Y = x^2 + 4x + 3\) можно воспользоваться программами, такими как GeoGebra, Desmos, или использовать языки программирования, например, Python с библиотекой Matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функции
def f(x):
    return x**2 + 4*x + 3

# Создание массива значений x
x = np.linspace(-10, 5, 400)
# Вычисление соответствующих значений y
y = f(x)

# Построение графика
plt.plot(x, y, label='Y = x^2 + 4x + 3')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.title('График функции Y = x^2 + 4x + 3')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.show()

Описание свойств:

1. Вершина параболы: Функция \(Y = x^2 + 4x + 3\) представляет собой параболу. Её вершина может быть найдена с помощью формулы \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c\). В данном случае \(a = 1\), \(b = 4\), и \(c = 3\). Подставим их и найдем вершину параболы.

\[ x_{\text{вершины}} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \]

Теперь подставим \(x = -2\) в уравнение, чтобы найти соответствующее значение \(Y\).

\[ Y_{\text{вершины}} = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 3 = 1 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-2, 1)\).

2. Направление открывания параболы: Коэффициент при \(x^2\) равен 1, что положительно, следовательно, парабола открывается вверх.

3. Пересечения с осями: Для нахождения пересечений с осями координат решим уравнение \(Y = 0\) для оси \(x\) и \(x = 0\) для оси \(Y\).

\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить, например, с помощью квадратного корня или метода полного квадрата. Получатся два корня, которые будут точками пересечения с осью \(x\).

4. Поведение функции в остальных областях: Посмотрим, как ведет себя функция при \(x \to \pm\infty\). Так как у нас парабола с ветвями, она будет стремиться к бесконечности, но никогда не достигнет её.

Таким образом, мы рассмотрели основные свойства функции \(Y = x^2 + 4x + 3\), включая построение графика, вершину параболы, направление открывания, пересечения с осями и поведение в остальных областях.