Question

Найди наименьшее значение функции на промежутке [0;8] y=4x^(2)-4x

Answer 1

Ответ:

-1

Объяснение:

Приведем к виду 4*(x^2-x+0,25)-1=4(x-0,5)^2-1

Минимум в той же точке, что и у функции (x-0,5)^2.

Он достигается при х=0,5.

Значит искомый минимум равен  -1.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = 4x^2 - 4x\) на заданном промежутке \([0;8]\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем критические точки: - Найдем производную функции \(y\) по \(x\) и приравняем ее к нулю:

\[y' = 8x - 4\]

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\[8x - 4 = 0\]

Решаем уравнение:

\[8x = 4 \implies x = \frac{1}{2}\]

- Таким образом, \(x = \frac{1}{2}\) - это критическая точка.

2. Определим значения функции на граничных точках: - Проверим значения функции на концах заданного промежутка \(x = 0\) и \(x = 8\):

\[y(0) = 4 \cdot (0)^2 - 4 \cdot 0 = 0\] \[y(8) = 4 \cdot (8)^2 - 4 \cdot 8 = 4 \cdot 64 - 32 = 256 - 32 = 224\]

- Таким образом, у нас есть три точки для анализа: \(x = 0\), \(x = \frac{1}{2}\), \(x = 8\).

3. Сравним значения в найденных точках: - \(y(0) = 0\) - \(y\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 = 1 - 2 = -1\) - \(y(8) = 224\)

- Наименьшее значение функции на заданном промежутке равно -1 и достигается при \(x = \frac{1}{2}\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = 4x^2 - 4x\) на промежутке \([0;8]\) равно -1 и достигается при \(x = \frac{1}{2}\).